Jak nakreslit analemu

Jak známo, sluneční hodiny ukazují tzv. pravý sluneční čas, hodinový úhel skutečného Slunce na obloze, které proto v této souvislosti nazýváme pravé Slunce. Pro hodinový úhel t jakéhokoli tělesa platí vztah t = Q – a, kde a je rektascenze tělesa a Q hvězdný čas (hodinový úhel jarního bodu). Zatímco hvězdný čas plyne během roku v podstatě rovnoměrně (až na nepatrné nepravidelnosti v rotaci Země), v rektascenzi Slunce se projevují významné odchylky od rovnoměrného pohybu, způsobené jednak nepravidelností pohybu Země (2. Keplerův zákon), jednak sklonem zemského rovníku k ekliptice (1° v délce neodpovídá vždy 1° v rektascenzi). První efekt má ze zřejmých důvodů periodu roční, druhý půlroční (přesněji: první perioda je rovna anomalistickému roku, druhá polovině roku tropického). Tyto nepravidelnosti odstraňuje střední sluneční čas, zavedený pomocí tzv. středních Sluncí, fiktivních těles, z nichž každé kompenzuje jednu z výše uvedených nepravidelností.

· První střední Slunce je bod, pohybující se rovnoměrně po ekliptice a setkávající se s pravým Sluncem v apsidách, tj. v okamžicích průchodu Země perihelem a afelem. Odstraňuje tedy vliv 2. Keplerova zákona.

· Druhé střední Slunce je bod, pohybující se rovnoměrně po nebeském rovníku a setkávající se s prvním středním Sluncem v jarním a podzimním bodě, čímž vyrovnává vliv sklonu zemské osy (rozdíl mezi anomalistickým a tropickým rokem zanedbáváme).

Střední sluneční čas se pak definuje jako hodinový úhel druhého středního Slunce. Rozdíl mezi pravým (tempus verum) a středním (tempus medium) slunečním časem se nazývá časová rovnice:

t = t_V – t_M.

Tato veličina má zajímavý průběh. Během roku je čtyřikrát rovna nule, totiž 15. dubna, 14. června, 1. září a 25. prosince. Mezitím dvakrát dosáhne maximální odchylky, a to 3. listopadu (+16,4 min.) a 12. února (–14,4 min.). Odtud údajně vzal původ zvyk tolerovat tzv. "akademickou čtvrthodinku". Kromě toho existují ještě dva vedlejší extrémy, 16. května (+3,8 min.) a 25. července (–6,4 min.). Graf najdete v každé učebnici sférické astronomie.

V důsledku sklonu zemské osy se ovšem během roku mění též deklinace Slunce, čemuž vděčíme za střídání ročních období. Křivka, jejímž jménem je nadepsán tento článek, vznikne tak, že na vodorovnou osu vynášíme časovou rovnici a na svislou deklinaci Slunce. Abychom mohli příslušné výpočty provést, musíme znát 3 vstupní údaje: sklon zemské osy (e = 23,5°), excentricitu dráhy Země (e = 0,0167), a délku Slunce v perihelu (l_P = 282°). Pro délku pravého Slunce snadno najdeme vyjádření

l_V = l_P + v,

kde v je pravá anomálie. Podobně rektascenze 2. středního Slunce, podle definice stejná jako délka 1. středního Slunce, bude

a_M = l_P + M,

kde M je anomálie střední. Tu určíme z Keplerovy rovnice

M = E – e·sin E,

zatímco pro pravou anomálii platí

(trikem, jak se vyhnout řešení transcendentní Keplerovy rovnice, je zvolit za nezávisle proměnnou excentrickou anomálii E). Dále, vzhledem k tomu, že ekliptikální šířka Slunce je z podstaty věci rovna nule, se transformační vztahy do rovníkových souřadnic zjednoduší na

cos a_V cos d_V = cos l_V
sin a_V cos d_V = sin l_V cos e
sin d_V = sin l_V sin e

(index "V" naznačuje, že se jedná o souřadnice pravého Slunce). Po jejich vyřešení můžeme časovou rovnici, vzhledem k předchozímu, vyjádřit jako

t = a_M – a_V.

Výsledek vidíme na následujícím obrázku (časová rovnice je z praktických důvodů vyjádřena v minutách, což provedeme jednoduchým převodem: 1° = 4 min.).

Nejvyšší bod křivky odpovídá letnímu, nejnižší zimnímu slunovratu. Body, kde analema protíná vodorovnou osu, jsou rovnodennosti: vlevo jarní, vpravo podzimní. Průsečíky se svislou osou jsou okamžiky shody pravého a středního času, naopak body od této osy nejvzdálenější představují dny, kdy se čas určený slunečními hodinami nejvíc liší od občanského času. Na některých slunečních hodinách bývá analema nakreslena, což má usnadnit "korekci" jejich údaje na střední čas.