Barometrická rovnice

Zkoumejme průběh atmosférického tlaku a hustoty vzduchu s výškou, tj. p = p(y), r = r(y). Podmínku aerostatické rovnováhy lze psát ve tvaru

,

kde g je tíhové zrychlení (uvažujeme homogenní gravitační pole). Vztah mezi hustotou a tlakem vzduchu udává stavová rovnice, kterou použijeme ve tvaru

(M je molární hmotnost plynu, v případě směsi plynů – např. vzduch – bereme střední molární hmotnost). Spojením obou rovnic (vyloučením tlaku) dostaneme

.

Vidíme, že pro stanovení výškové závislosti hustoty má zásadní význam chování teploty. Zde se nám nabízejí dva možné metodické přístupy:

(A) Pokud předpokládáme empirickou znalost chodu teploty s výškou, tj. funkci T = T(y), můžeme užitím pravidla o derivaci součinu přepsat rovnici na tvar

,

Přímá integrace vede na

,

kde r0 a T0 jsou hodnoty na zemském povrchu. Nejjednodušší je případ tzv. izotermické atmosféry, tj. takové v níž teplota nezávisí na výšce (tj. T = T0 = konst.). Ten má snadné řešení

a tudíž i

,

kde samozřejmě

je povrchová hodnota tlaku. Obě veličiny tedy s výškou exponenciálně klesají, a to tak, že poloviny své hodnoty při povrchu země dosáhnou ve výšce

.

(B) Jiný může být postup, předpokládáme-li znalost souvislosti mezi teplotou a hustotou plynu, tj. funkci T = T(r). V tom případě můžeme dosazením teplotu vyloučit a řešit rovnici pro jedinou neznámou funkci r = r(y). Typickou úlohou je řešení tzv. adiabatické atmosféry, v níž je tato závislost popsána Poissonovým zákonem T = A·rk – 1 (k je Poissonův exponent plynu, A nějaká konstanta). Barometrická rovnice se pak zjednoduší na

neboli

,

odkud integrací

.

Vidíme, že v adiabatické atmosféře teplota klesá s výškou lineárně:

.

kde

je adiabatický gradient teploty. Vzhledem k tomu, že teplota nemůže klesnout pod absolutní nulu, můžeme z toho odhadnout horní mez výšky adiabatické atmosféry ymax = 1/a. Chod hustoty pak určíme ze vztahu

a podobně chod tlaku

.

kde

.

Vzduch je tvořen prakticky výlučně dvouatomovými plyny, pro něž je k = 7/5. Pro chod hustoty a tlaku v adiabatické atmosféře tak vychází

,

.

Molární hmotnost odhadneme z poměrných zastoupení dusíku a kyslíku:

» 28,8 g/mol

Pro adiabatický gradient teploty tak dostáváme přibližnou hodnotu aT0 » 0,0097 K·m-1, tedy přibližně pokles o 1°C na každých 100 m výšky. Zvolíme-li za povrchovou teplotu 293 K (20°C), vychází a » 3,31·10-5 m-1, což by znamenalo, že adiabatická atmosféra může dosahovat maximálně výšky ymax » 30,2 km. V izotermickém modelu vyjde l » 1,16·10-4 m-1 [platí: a = (1 – 1/kl]. Pro hustotu vzduchu při zemském povrchu se obvykle udává hodnota r0 » 1,21 kg·m-3. Srovnání obou modelů pro zvolené hodnoty ukazují následující grafy.