Řešení kubické rovnice

1. Odvození Cardanova vzorce

Mějme kubickou rovnici x3 + ax2 + bx + c = 0 s reálnými koeficienty (pro jednoduchost můžeme předpokládat, že už je v normovaném tvaru). Substitucí x = y – a/3 ji můžeme převést na tvar y3 + 3py + 2q = 0, v němž

Řešení hledejme ve tvaru y = u + v, po dosazení a úpravě:

u3 + v3 + 3(uv + p)(u + v) + 2q = 0.

Zvolíme-li ze všech možných dvojic u, v takovou, aby uv + p = 0, dostáváme:

u3 + v3 = – 2q,

u3v3 = – p3.

To znamená, že u3 a v3 jsou kořeny kvadratické rovnice t2 + 2qt – p3 = 0. Tu můžeme řešit doplněním na čtverec, tj. úpravou na tvar (t + q)2 – (q2 + p3) = 0. Další postup řešení závisí na diskriminantu, tj. výrazu D = q2 + p3.

A) D ³ 0. Potom

jsou reálné kořeny kvadratické rovnice (mohou být i stejné) a jedním z hledaných kořenů je

(třetí odmocninu zde chápeme jako inverzní funkci k třetí mocnině, tedy např. ).

B) D < 0 (casus irreducibilis). Pak má kvadratická rovnice dva komplexně sdružené kořeny

.

Třetí odmocninu musíme v tomto případě chápat v komplexním smyslu, což nejlépe docílíme převodem na goniometrický tvar:

,

.

Alespoň jedna dvojice třetích odmocnin musí být rovněž komplexně sdružená, což umožňuje určit reálný kořen

.

Zbývající kořeny je nejjednodušší určit snížením stupně původní rovnice, např. za použití Hornerova schématu.


2. Užití v nebeské mechanice

Uvedenou metodu lze (vedle metod numerických) užít k výpočtu polohy tělesa, pohybujícího se v centrálním gravitačním poli po parabolické dráze. [Poznámka: Dráhy dlouhoperiodických komet jsou od parabolické často k nerozeznání.] V tomto případě lze totiž pro pravou anomálii tělesa v odvodit rovnici

,

kde k je gravitační konstanta M hmotnost centrálního tělesa (přesněji řečeno součet hmotností obou těles), p parametr paraboly, t čas měřený od průchodu perihelem. V naší symbolice to znamená řešit kubickou rovnici v Cardanově tvaru pro neznámou

s koeficienty

P = 1

(používáme označení P, Q, aby nedošlo k záměně s parametrem paraboly). Vzhledem k tomu, že diskriminant

,

nemůže nikdy nastat casus irreducibilis a neznámou y lze vždy najít ve tvaru

neboli (vzhledem k tomu, jak zde chápem třetí odmocninu)

.

Lze ukázat, že pro P > 0 má rovnice jediný reálný kořen, takže nehrozí záměna.