Jakou excentricitu měl excentr?

1. Úvod

Jak známo, starověcí astronomové vysvětlovali všechny pohyby planet skládáním rovnoměrných kruhových pohybů. Myšlenka, že by se nějaké nebeské těleso mohlo pohybovat po jiné dráze než kruhové, byla zcela nepředstavitelná nejen ve starověku a středověku, ale ještě většině renesančních astronomů včetně takových velikánů, jakými byli Koperník a Tycho Brahe. Když r. 1609 přišel Kepler s elipsami, byl to vpravdě revoluční čin, jehož význam už dnes dokážeme jen stěží docenit.

Na druhé straně si už velcí hvězdáři starověku uvědomovali, že s kruhovými pohyby to ve  vesmíru není tak jednoduché. Užití epicyklů (kružnic obíhajících po dalších kružnicích), zavedených Apolloniem, sice poskytovalo poměrně silný nástroj na přiblížení se skutečným drahám planet, ale již Hipparchos dospěl k poznatku, že takto nelze vysvětlit nepravidelnosti pohybu Země – rozdílnou délku ročních dob (v jeho pojetí šlo ovšem o pohyb Slunce). Slunce totiž nikdy nevykazuje zpětný pohyb, takže uplatnění epicyklů s libovolnými oběžnými dobami nepřicházelo v úvahu. Hipparchovo řešení spočívalo v zavedení excentru, tedy kružnice, jejíž střed se nacházel mimo Zemi. Už to byla převratná myšlenka, narušující obecně přijímanou antickou představu dokonalé symetrie kosmu. Po excentru se pak mělo rovnoměrně pohybovat Slunce, takže z pohledu pozorovatele na Zemi by se v perigeu pohybovalo rychleji, v apogeu pomaleji. V tom již samozřejmě lze spatřovat anticipaci 2. Keplerova zákona.

V 1. století našeho letopočtu byla ovšem již k dispozici mnohem delší a přesnější řada pozorovacích dat, než v časech Hipparchových. Ukazovalo se čím dál zřetelněji, že ani excentr nedokáže uspokojivě vysvětlit nerovnosti v pohybu Slunce. Bylo třeba další zpřesnění modelu. Tento poslední krok čekal na Klaudia Ptolemaia.

Ptolemaios musel řešit následující problém: pohyb Slunce po excentru stále ještě není "dostatečně nerovnoměrný", v perigeu je ještě příliš pomalý a v apogeu ještě příliš rychlý. Východisko nalezené Ptolemaiem bylo vpravdě originální: kromě excentru zavedl další kružnici, tzv. ekvant, jehož střed byl umístěn na spojnici Země a středu excentru a ve stejné vzdálenosti od něj jako Země, ovšem na opačné straně. Ptolemaios pak předpokládá, že pohyb Slunce po excentru se sice jeví jako rovnoměrný, pokud je ovšem pozorován ne ze středu excentru, nýbrž ze středu ekvantu. Tím docílil toho, že výsledný pohyb Slunce, pozorovaný ze Země, se v perigeu ještě trochu zrychlil a v apogeu ještě trochu zpomalil, což shodu modelu s pozorováním uspokojivě zlepšilo.

Mimochodem: Dva body, ležící proti sobě ve stejné vzdálenosti od středu dráhy, v jednom z nich je Země… nepřipomíná to už trochu Keplerovu elipsu s ohnisky?

Než půjdeme dál a pokusíme se oba modely matematicky analyzovat, připojíme ještě dvě metodické poznámky.

Za prvé: Jak Hipparchova, tak Ptolemaiova soustava je geocentrická, řeší tedy, jak už bylo naznačeno, problém pohybu Slunce kolem Země. My dnes samozřejmě uvažujeme heliocentricky, ale uvědomme si, že z hlediska našich výpočtů je to vlastně jedno. Můžeme prostě "vyměnit" polohu Slunce a Země v modelu, ale na jeho matematickou přesnost to nemá vliv. Budeme proto "moderně" mluvit o pohybu Země kolem Slunce, ovšem v pojmech a představách pozdní antiky.

Za druhé: Naším cílem je samozřejmě porovnat výsledky s výpočty podle Keplerových zákonů a ocenit, s jakou přesností mohly výpočty podle antických modelů vycházet. Přitom nám ale půjde výlučně o srovnání tangenciální složky pohybu, tedy pozorovaného pohybu Slunce po obloze. Radiální složku ponecháme zcela stranou, neboť měření změn vzdálenosti Slunce od Země nepřicházelo ve starověku v úvahu, možné bylo pouze měřit úhlové polohy.

2. Hipparchův model – excentr

Zaveďme označení tak, aby co nejlépe odpovídalo obvyklým označením veličin v nebeské mechanice (viz obrázek). Bod D je střed excentru, bod S značí Slunce, bod P planetu (Zemi). Poloměr excentru je a, vzdálenost DS ae (veličina e je obdobou numerické excentricity). Úhly měříme od přímky apsid. Úhel M je střední anomálie (podle Hipparchova předpokladu je lineární funkcí času), úhel vH má význam pravé anomálie (jak by vyšla podle Hipparchova modelu). Užitím sinové věty v trojúhelníku SDP dostaneme:

sin (vH – M) = e sin vH

odkud pomocí součtového vzorce odvodíme

Na rozdíl od keplerovského pohybu po elipse nemusíme tedy v tomto případě řešit žádnou transcendentní rovnici, řešení je k dispozici v uzavřeném tvaru. Potíže ovšem nastanou s funkcí tangens pro pravou anomálii blízkou ± 90°. Problém lze řešit převedením na hledání funkcí sinus a kosinus, tj.

,   ,

případně (při programování nebo v Excelu) použitím funkce ARCTG2.


3. Ptolemaiův model – ekvant

Značení veličin bude obdobné jako předešle, jen některé přibudou. Bod Q je střed ekvantu (čárkovaná kružnice), přičemž Ptolemaios předpokládá QD = DS. Úhel vP má opět význam pravé anomálie, tentokrát vypočtené podle Ptolemaiovy teorie. Úhel EP je pomocná veličina, která sehraje podobnou úlohu jako excentrická anomálie.

Stejným postupem jako předešle (sinová věta) odvodíme:

sin (EPM) = e sin M,
sin (vPEP) = e sin vP.

Z první rovnice lze přímo určit EP a ze druhé pak

.

Při výpočtu opět postupujeme stejným způsobem jako v předchozím případě.

4. Hledání excentricity

Následující grafy zobrazují průběh odchylky v délce Slunce, spočítané podle obou modelů, od skutečné hodnoty určené z Keplerovy rovnice. Klíčovou se zde ale jeví otázka "excentricity", zde tedy vzdálenosti Slunce resp. středu ekvantu od středu excentru. Zdeněk Horský (Poznávání vesmíru, str. 66) uvádí, že Hipparchos dospěl analýzou délky ročních období k hodnotě = 1/24, a že (cituji doslova) "Ptolemaios převzal tento výsledek beze změny a až do dob Koperníkových se takřka neměnil." Tato hodnota je samozřejmě ve srovnání se skutečností (e = 0,0167) nesmyslně velká, nicméně jsem cítil povinnost provést první výpočet právě s ní. Výsledek byl šokující: Nejen že relativní chyba efemeridy u Hipparcha je kladná (jeho pravá anomálie roste od perihelu ještě rychleji, než ve skutečnosti) a v absolutní míře dosahuje téměř 0,5°, ale zavedením ekvantu se podstatně zhorší (téměř 3°)!

Zdá se to neuvěřitelné. Ptolemaios přece zavedl ekvant proto, aby efemeridu zlepšil! Mohl by si nevšimnout, že dosáhl pravého opaku?

Snad by se dalo odpovědět hypotézou, že Hipparchovu hodnotu excentricity interpretoval Ptolemaios ve svém modelu jako vzdálenost Slunce (vlastně Země) od středu ekvantu, tedy jako úsečku QS. To by znamenalo, že do našeho výpočtu je třeba dosadit poloviční hodnotu excentricity, e = 1/48. Provedl jsem i tento výpočet, ukázal ovšem, že v tom případě Ptolemaiovy hodnoty prakticky reprodukují hodnoty Hipparchovy. To je sice o dost lepší, nicméně by to znamenalo, že ekvant žádné podstatné zlepšení nepřinesl.

Nezbývá tedy než uzavřít, že předpoklad o použití hodnoty e = 1/24 Ptolemaiem je mylný. Buď měl už Hipparchos ve svém modelu lepší hodnotu, nebo Ptolemaios tento údaj nepřevzal.

Jakou hodnotu e tedy Hipparchos měl, resp. jakou vůbec mít mohl? Pokusme se rekonstruovat jeho postup. Hipparchos samozřejmě určoval délky ročních období pozorováním, my si pomůžeme jednoduchým výpočtem. V okamžicích rovnodenností a slunovratů je délka Slunce postupně rovna 0°, 90°, 180° a 270°. Odečtením délky Slunce v perihelu, která ve 2. století př.n.l. činila zhruba 246,4°, získáme pravou anomálii, kterou pomocí Keplerovy rovnice snadno převedeme na anomálii střední. Tak najdeme body rovnodenností a slunovratů na domnělé kruhové dráze Slunce, a jejich spojením excentrickou polohu Země (viz obrázek). Výpočtem dospějeme k následujícím hodnotám (údaje jsou zaokrouhleny na desetiny stupně, výpočty byly prováděny s lepší přesností):

 

Délka Slunce

Pravá anomálie

Střední anomálie

Šířka sektoru

JT

ZH

 

Jarní rovnodennost

113,6°

111,9°

92,5°

93°09'

(jaro)

Letní slunovrat

90°

203,6°

204,4°

91,0°

91°11'

(léto)

Podzimní rovnodennost

180°

293,6°

295,4°

87,5°

86°51'

(podzim)

Zimní slunovrat

270°

23,6°

22,9°

89,0°

88°49'

(zima)

Sloupec "JT" obsahuje hodnoty vypočtené naznačeným způsobem, údaje "ZH" jsou převzaty z citované Horského knihy (uvádí vlastně jen pouze první 2, zbývající dostaneme podle věty o středovém a obvodovém úhlu jako doplňky do 180°).

Označíme-li je postupně a, b, g, d, znázorňuje situaci schématicky (velikosti úhlů nejsou v zájmu názornosti dodrženy) následující obrázek:

Zřejmé jsou tyto vztahy:

a + b + g + d = 360°,

,

.

Pro polohu přímky apsid platí

,

což pro naše hodnoty dá délku afelu lA = 66,4°, tedy 6,4° Blíženců (Horský uvádí 5,5°).

Položíme-li poloměr kružnice rovný jedné, je

,

což po dosazení úhlů podle Horského skutečně dá hodnotu e » 0,0415…» 1/24, zatímco naše vypočtené úhly vedou k hodnotě  e » 0,03339… » 1/30. Dosadíme-li ji do Hipparchova modelu, dostaneme překvapivě dobrý výsledek – chyba nepřekročí 1 obloukovou minutu! Zato model s ekvantem nedopadne o mnoho lépe než předešle (chyba až 2°). Pokud se ale vrátíme k hypotéze, že do Ptolemaiovy teorie je třeba dosadit poloviční hodnotu excentricity, tedy v tomto případě e = 1/60, je situace následující:

Je to trochu překvapující výsledek. Oproti tvrzením v úvodním odstavci by v tomto případě byla podle Hipparcha Země v perihelu příliš rychlá a Ptolemaiova teorie by směřovala k jejímu zpomalení. Maximální odchylka se přitom zmenší na pouhých 25 úhlových vteřin! Za pozornost stojí, že tak výrazné zlepšení dostaneme právě jen pro tuto hodnotu excentricity a pro žádnou jinou "blízkou" hodnotu, přicházející v úvahu (předpokládám, že Hipparchos by ji sotva mohl vyjádřit jinak než ve tvaru zlomku 1/n). Pro obě "sousední" možnosti, tj. jak pro e = 1/29 tak i pro e = 1/31 platí, že maximální odchylka je v obou modelech zhruba stejná, podobně jako pro e = 1/24.

5. Závěr

Je samozřejmě možné, že Hipparchos nalezl hodnotu e = 1/24. Pokládám ale za téměř vyloučené, že by Ptolemaios nekriticky převzal tuto hodnotu beze změny, resp. že by ji jen rozpůlil. Jeho teorie ekvantu by v takovém případě neměla žádný smysl. Naopak výrazné zlepšení přináší za předpokladu, že by v modelu bez ekvantu byla použita hodnota e = 1/30, kterou by následně interpretoval jako dvojnásobek excentricity, tedy v jeho modelu = 1/60. Ta je ostatně blízká skutečné e = 0,0167.

Ještě poznamenejme, že myšlenka ekvantu nebyla vůbec špatná. Pokud bychom pozorovali keplerovský pohyb po elipse z jejího druhého ohniska, jevil by se nám jako velmi blízký pohybu rovnoměrnému. V případě Země odchylka nepřekračuje 15 vteřin.