Funkce G a její užití ve fyzice

Eulerova G-funkce je definována vztahem

,

přičemž n může být libovolné reálné kladné číslo, případně i číslo záporné necelé (definičním oborem je množina R \ Z^–). Integrací per partes lze snadno odvodit pravidlo

G(n + 1) = nG(n).

Snadno též určíme, že G(1) = 1, a proto pro přirozená n je G(n) = (n – 1)!

Důležitá je rovněž hodnota , což pro přirozená n vede na

.

S pomocí funkce G též snadno (substitucí x² = t) spočteme integrál

Výraz G(n) se vyskytuje v řadě fyzikálních aplikací. Několik prvních hodnot si vypišme (z praktických důvodů rozlišíme n sudé a liché):

Hodnota G(0) souvisí s normovací konstantou v Gaussově normálním rozdělení, až na to, že Gaussova funkce za má definiční obor všechna reálná čísla, tedy od – ¥ do + ¥, a exponent v ní má tvar –x²/2. Číslo G(2) normuje rozdělení Maxwellovo, zatímco G(4) se uplatní při výpočtu střední kvadratické rychlosti:

.