Odvození normálního rozdělení

Mějme mince, na jejichž líci je napsaná hodnota +1 a na rubu –1. Hodnotu součtu při jednom hodu označme x. Dále nechť F(n, x) je pravděpodobnost výsledku x při hodu n mincemi. Nyní přidejme ještě jednu minci. Oproti předchozímu stavu zjevně může vyjít hodnota x buď o 1 větší nebo o 1 menší. Má-li tedy při (n + 1) mincích vyjít celkem x, pak při n mincích muselo být buď x – 1 (a na nové minci +1), nebo x + 1 (a na nové minci –1). Oba případy jsou stejně pravděpodobné, takže musí platit

.

Odečteme-li od obou stran hodnotu F(n, x), dostaneme

.

Pro velká n můžeme rozdíly nahradit derivacemi, čímž tato "diferenční" rovnice přejde v diferenciální:

.

Jejím řešením je funkce

.

Pro konstantu A dostaneme z normovací podmínky

(substitucí a užitím Eulerovy G-funkce) hodnotu

.

Střední hodnota veličiny x je zjevně rovna nule. Definujeme-li nyní její rozptyl integrálem

,

můžeme se přímým výpočtem přesvědčit, že s 2 = n. Důsledkem je známý tvar Gaussovy funkce normálního rozdělení

,

v němž s je směrodatná odchylka veličiny x.

Přestože tvar Gaussovy křivky je všeobecně znám, přinášíme i graf. Je nakreslen pro hodnotu s = 1, přičemž interval (–3; +3) není zvolen náhodou. Graf totiž názorně demonstruje tzv. "pravidlo 3s", totiž že v intervalu (–3s; +3s) se nachází rozhodující část hodnot uvažované veličiny. Co leží mimo tento interval, lze obvykle zanedbat.