Pohyb v centrálním gravitačním poli – problém 2 těles
(elementární metody)

Mějme 2 tělesa (hmotné body) o hmotnostech m₀ a m₁, jejich okamžitou vzájemnou vzdálenost označme r. Jsou-li r₀, r₁ jejich vzdálenosti od společného těžiště, platí: r₀ + r₁ = r, m₀·r₀ = m₁·r₁. Z toho

.

Označme celkovou hmotnost soustavy M = m₀ + m₁ a tzv. redukovanou hmotnost

Gravitační síla mezi oběma tělesy je

.

Podobně pro potenciální energii soustavy platí

.

V těžišťové vztažné soustavě je dále

,

což umožňuje psát rychlosti ve tvaru

,

kde je vzájemná rychlost obou těles (tělesa "1" vzhledem k tělesu "0", např. planety vůči Slunci). Pro kinetickou energii soustavy z toho plyne

.

Celková mechanická energie je potom

.

Tyto vztahy umožňují nahradit reálná tělesa "0" a "1" tělesy fiktivními, z nichž první o hmotnosti M je nehybně umístěno v těžišti soustavy, druhé o hmotnosti m se nachází ve vzdálenosti r od prvního.

A) Kruhová dráha (e = 0)

Z rovnováhy sil plyne

,

odkud plyne tzv. kruhová rychlost

Oběžná doba je potom

.

Důsledkem je opravený 3. Keplerův zákon: M·T ² ~ r ³. Celková mechanická energie vychází

.

B) Eliptická dráha (0 < e < 1)

Průvodiče perihelu a afelu jsou: r_P = a·(1 – e), r_A = a·(1 + e). Zákon zachování mechanické energie nám dá:

a 2. Keplerův zákon (resp. zákon zachování momentu hybnosti): r_P·v_P = r_A·v_A. Vyloučením r_A, v_A dostaneme:

a proto

je rychlost v obecném bodě na elipse. Poučné jsou extrémní případy: pro a ® ¥ dostáváme rychlost parabolickou (viz níže), pro r = a (kruhová dráha) rychlost kruhovou. Rychlosti v apsidách získáme dosazením r = r_P, resp. r = r_A:

, .

Odtud plošná rychlost

,

kde p = a·(1 – e²) je parametr elipsy. Užitím vztahu pro vedlejší poloosu elipsy

získáme

.

Odtud oběžná doba (3. Keplerův zákon)

.

C) Parabolická dráha (e = 1)

Uvědomíme-li si, že parabola vznikne "nekonečným protažením" elipsy, můžeme vyjít ze vztahu pro eliptickou rychlost, v němž položíme a ® ¥. Pro parabolickou rychlost takto obdržíme

V perihelu je r_P = p/2 a proto

a plošná rychlost

stejně jako u elipsy. Celková energie vyjde E = 0.

D) Hyperbolická dráha (e > 1)

Průvodič perihelu je tentokrát r_P = a·(e – 1), parametr hyperboly p = a·(e² – 1). Potíž je ale v tom, že nemáme druhý srovnávací bod (afel) ke stanovení perihelové rychlosti užitím 2. Keplerova zákona. Elementárními metodami ji tedy nejspíš určit nelze (?) a nezbývá tedy, než předpokládat, že i zde platí vztah

.

Odtud perihelová rychlost

a celková energie

.

Rychlost v obecném bodě hyperboly pak vychází

.

Pro a ® ¥ dostáváme opět parabolickou rychlost, což lze považovat za potvrzení správnosti našeho postupu. Zajímavý je také výsledek pro r ® ¥, ukazující, že rychlost v nekonečné dálce je stejná jako rychlost po kružnici o poloměru a.

Zobecnění

Uvědomíme-li si, že pro kružnici platí r = p = a (a samozřejmě e = 0), pro parabolu e = 1, a dále vztahy pro parametr elipsy a hyperboly, lze vztah pro celkovou energii zobecnit na tvar

.

Z něj názorně vidíme, že pro uzavřené dráhy (kružnici a elipsu, tj. e < 1) je E < 0, což lze interpretovat tak, že obíhající těleso nemá dostatek energie na to, aby opustilo gravitační pole centrálního tělesa. Naproti tomu otevřené dráhy (e ³ 1) mají E ³ 0, neboli dostatek (parabola) resp. nadbytek (hyperbola) energie k úniku.

Podobně můžeme zobecnit vztahy pro rychlost

jakož i pro perihelovou rychlost

Přejdeme-li k poměrným veličinám x = r/r_P, y = v/v_P, dostaneme funkci

jejíž průběh vidíme na následujícím grafu. Pro elipsu byla zvolena hodnota e = 0,5, pro hyperbolu e = 2.

Kruhová dráha je na tomto grafu zobrazena jediným bodem o souřadnicích [1;1]. Pro ostatní dráhy představuje tento bod perihel, tedy počáteční bod a současně maximum. Křivka eliptických rychlostí končí v afelu, její další pokračování by nemělo fyzikální smysl. Parabolická rychlost klesá v nekonečné limitě až k nule, zatímco hyperbolická k hodnotě, odpovídající "přebytkové" energii.