Pohyb v centrálním gravitačním poli – problém 2 těles
(pokročilejší metody)

1. Tvar dráhy

Nejprve provedeme substituci reálných těles tělesy fiktivními, z nichž první o hmotnosti M, rovné součtu hmotností obou těles, je umístěno nehybně v těžišti soustavy, druhé o hmotnosti m (tzv. redukované) dělí od těžiště stejná vzdálenost r, jaká byla mezi původními tělesy. Tím je řešení pohybu 2 těles převedeno na řešení pohybu jen 1 tělesa, což představuje podstatné zjednodušení úlohy.

Z definice centrální síly plyne , což lze přepsat jako

neboli

Veličina s je tzv. plošná rychlost. Důsledkem je tedy jednak rovinnost pohybu, jednak stálá plošná rychlost (2. Keplerův zákon). [Poznámka: Jeho platnost vůbec nezávisí na tom, jak se síla mění se vzdáleností, platí v každém centrálním poli. Z fyzikálního hlediska představuje vlastně – po vynásobení hmotností – zákon zachování orbitálního momentu hybnosti.]

Zavedeme v rovině pohybu polární souřadnice s počátkem v těžišti soustavy: r (průvodič), a v (pravá anomálie), kterou měříme od nějaké pevně zvolené přímky (zatím libovolné, později upřesníme). Je-li a úhel mezi průvodičem a vektorem okamžité rychlosti, můžeme rychlost rozložit na 2 kolmé složky, radiální

a tangenciální

pomocí nichž můžeme vyjádřit kinetickou energii ve tvaru

Pro plošnou rychlost pak dostaneme

Odtud zpětně vyjádříme tangenciální složku rychlosti

takže pro kinetickou energii lze psát

Chceme-li najít tvar dráhy tělesa, tj. funkci r = r(v), potřebujeme odstranit časovou závislost i z radiální složky. Zde nám pomůže řetězové pravidlo:

(čárka označuje derivaci podle pravé anomálie). Klíčovým "trikem", vedoucím k řešení, je v této chvíli zavedení substituce u = 1/r. Jejím prostřednictvím totiž přejdou obě složky rychlosti na jednoduchý tvar, tangenciální na 2s·u a radiální na –2s·u'. Dosazením do vztahu pro kinetickou energii obdržíme

Napíšeme-li nyní zákon zachování mechanické energie ve tvaru

dostaneme po úpravě tzv. Binetův vzorec

[Poznámka: Při úpravě jsme rovnici krátili u', museli jsme tedy předpokládat u' ¹ 0. Není-li tento předpoklad splněn, jde o triviální případ kruhové dráhy.]

V newtonovském gravitačním poli je E_p = – kMmu a proto

Řešení této diferenciální rovnice (srov. např. rovnici pro harmonické kmitání) lze psát ve tvaru

v němž e a v₀ jsou bezrozměrné integrační konstanty. Konstantu v₀ lze vhodnou volbou referenční přímky vždy zvolit rovnou nule (tzv. přímka apsid), takže výsledná rovnice hledané trajektorie je

kde

To je obecné vyjádření kuželosečky v polárních souřadnicích s počátkem v jejím ohnisku; veličina p jej její parametr, veličina e její číselná výstřednost (numerická excentricita). V závislosti na její hodnotě dostáváme kruhovou (e = 0), eliptickou (0 < e < 1), parabolickou (e = 1) nebo hyperbolickou (e > 1) dráhu. To je jinými slovy zobecněný 1. Keplerův zákon. K tomu, abychom zjistili, jak hodnota e souvisí s celkovou mechanickou energií, vyjádříme explicitně složky rychlosti: tangenciální

a radiální

a dosadíme do vztahu pro kinetickou energii

Jelikož potenciální energie je

je celková energie rovna

Z tohoto vyjádření plyne, že eliptickou (případně kruhovou) dráhu dostáváme při E < 0, parabolickou při E = 0 a hyperbolickou při E > 0. V prvním případě platí vztah p = a·(1 – e²), kde a je hlavní poloosa elipsy, v posledním naopak p = a·(e² – 1), kde a je hlavní poloosa hyperboly. Lze proto (s výjimkou paraboly) celkovou energii psát ve tvaru

kde kladné znaménko platí pro hyperbolickou a záporné pro eliptickou a kruhovou dráhu.

Vraťme se ale ještě k původnímu vyjádření kinetické energie, tj. bez použití derivace podle pravé anomálie. Celkovou energii lze potom, s použitím vztahu pro parametr dráhy, psát ve tvaru

Zde první člen představuje kinetickou energii radiální složky pohybu. Funkce F(r) je tzv. efektivní potenciál, zahrnující v sobě jak tangenciální složku pohybové energie, tak i energii polohovou. Jinak zapsáno

kde

Graf funkce f(x) je na následujícím obrázku. Vertikální vzdálenost mezi vodorovnou čarou (celková energie) a křivkou (efektivní potenciál) představuje kinetickou energii radiální složky pohybu. U kruhové dráhy je tato hodnota trvale rovna nule – pohyb je pouze tangenciální. V případě elipsy nabývá nulové hodnoty dvakrát – v perihelu a v afelu. U parabolické a hyperbolické dráhy nastává tato situace pouze jednou – v perihelu. Liší se tím, že těleso na hyperbolické dráze by mělo nenulovou kinetickou energii i v "nekonečnu", Parabola představuje mezní případ – těleso by se v "nekonečnu" zastavilo.

2. Charakter pohybu

2.1 Elipsa

Pouze pro uzavřenou dráhu (kružnici můžeme chápat jako zvláštní případ elipsy) můžeme definovat oběžnou dobu

Jako důsledek (užitím vztahů pro vedlejší poloosu a parametr elipsy) dostaneme 3. Keplerův zákon.

Z obrázku dále vidíme:

r·cos v = a·(cos E – e),

r·sin v = b·sin E.

z čehož užitím vztahu pro vedlejší poloosu elipsy plyne

r = a·(1 – e·cos E).

Zpětným dosazením do prvního z předchozí dvojice vztahů získáme

Pomocí známých vzorců pro goniometrické funkce transformujeme tento vztah na

Úhel E se nazývá excentrická anomálie. Ještě se zavádí tzv. střední anomálie vztahem

Je to vlastně jen lineární transformace času na úhel, geometricky si můžeme představit bod rovnoměrně se pohybující po kružnici o poloměru a se stejnou periodou jako planeta po elipse tak, že se s ní setkává v perihelu a v afelu. Veličina

se nazývá střední denní pohyb; má význam "průměrné úhlové rychlosti" eliptického pohybu.

Pokud bychom chtěli pokračovat v přímém výpočtu, znamenalo by to dosadit vztah pro průvodič r = r(E) a časovou derivaci vztahu v = v(E) do 2. Keplerova zákona a integrovat. Samozřejmě lze takto postupovat a není to ani nic mimořádně těžkého, můžeme se tomu ale také vyhnout pomocí našeho obrázku. V důsledku 2. Keplerova zákona je totiž plocha opsaná průvodičem od průchodu perihelem rovna

S = pab·t/T = ab·M/2.

Z vlastností elipsy (afinita) dále plyne

odkud dosazením a jednoduchou úpravou přímo dostáváme známou tzv. Keplerovu rovnici

M = E – e·sin E .

Patří do rodiny tzv. transcendentních rovnic, nelze ji tedy řešit analyticky za použití elementárních funkcí. Existují různé metody numerického řešení (iterační, Newtonova…), kterými se zde nebudeme detailně zabývat, pouze pro ilustraci uvádíme graf závislosti excentrické a pravé anomálie na anomálii střední pro hodnotu e = 0,5.

2.2 Parabola

Dosazením e = 1 do vztahu pro průvodič máme

Užitím 2. Keplerova zákona a vztahu mezi plošnou rychlostí a parametrem dráhy obdržíme

Tato diferenciální rovnice přejde standardní substitucí y = tan v/2 na jednoduchý tvar

Její řešení

představuje obdobu Keplerovy rovnice pro parabolickou dráhu, veličinu na pravé straně lze považovat za analogii střední anomálie. (Poznámka: Čas měříme od průchodu perihelem, kde je v = 0 a tedy i y = 0.) Tentokrát nejde o rovnici transcendentní, ale jen kubickou, kterou lze v zásadě řešit užitím Cardanova vzorce (v praxi se nicméně používají spíš numerické metody). Pravou anomálii vypočteme inverzí substituce, pro průvodič snadno najdeme vztah

r = p·(1 + y²)/2.

Časový průběh pravé anomálie ukazuje následující graf.

2.3 Hyperbola

S použitím parametrického vyjádření hyperboly lze psát

r cos v = a (e – cosh H)

r sin v = b sinh H

kde veličina H je reálný parametr a zde bude hrát obdobnou roli jako excentrická anomálie (nezaměňovat s parametrem hyperboly p = a(e² – 1), který má obdobný význam jako u elipsy a paraboly). Užitím vztahu pro vedlejší poloosu hyperboly najdeme

r = a (e cosh H – 1)

a zpětným dosazením do prvního vztahu

Obdobným postupem jako u elipsy transformujeme tento vztah na

Obrázek nám tentokrát asi příliš nepomůže (možná by to šlo užitím vzorce pro obsah hyperbolické úseče?), takže nezbývá než provést výpočet přímo. Poslední vztah derivujeme podle času a spolu s r = r(H) dosadíme do 2. Keplerova zákona. Po úpravách pomocí vzorců pro goniometrické a hyperbolické funkce dostaneme

odkud přímou integrací

e sinh H – H = W t .

To je obdoba Keplerovy rovnice pro hyperbolickou dráhu. Řeší se opět numericky, zde jen ilustrujeme řešení pomocí grafu (zvolena byla hodnota e = 2,5).

Poznámka: V dobách před érou výpočetní techniky, kdy navíc nebyly běžně k dispozici tabulky hyperbolických funkcí, používala se s výhodou úhlová veličina F definovaná vztahem

Pak platilo: sinh H = tan F, cosh H = 1/cos F, tanh H = sin F, tanh H/2 = tan F/2 atd.

2.4 Bonus: Pohyb po elipse pohledem z druhého ohniska

Označme s průvodič vedený z druhého ohniska eliptické dráhy. Vzhledem k definici elipsy r + s = 2a je

s = a·(1 + e·cos E).

Dále nechť w je úhel, který tento průvodič svírá s hlavní osou elipsy (viz obrázek). [Poznámka: Nikde jsem se nedočetl, jak se tento úhel jmenuje; první, co mě napadlo, byla "levá anomálie", ale vhodnější se mi zdá označení anomálie nepravá.]

Obdobným způsobem jako v případě pravé anomálie odvodíme:

Pro pozorovatele nacházejícího se ve druhém ohnisku bude radiální složka rychlosti rovna a tangenciální složka . Vzhledem k definici elipsy je ovšem , a tudíž i , neboť celková velikost rychlosti je samozřejmě na volbě pozorovatele nezávislá. Poslední rovnice, vynásobená průvodičem r, dá:

Tento vztah nám poskytne zajímavou informaci o chování nepravé anomálie v čase ve srovnání s anomálií pravou. Plyne z něj totiž

zatímco pro pravou anomálii platí (2. Keplerův zákon)

Rozvineme-li tyto zlomky v mocninnou řadu, dostáváme

zatímco

(pro přehlednost jsme označili z = e·cos E). Vidíme, že řada pro časovou derivaci nepravé anomálie, na rozdíl od anomálie pravé, neobsahuje lineární člen. Pokud bychom v obou řadách zanedbali všechny členy kvadratickým počínaje, byla by tato derivace konstantní, což znamená, že pozorovateli ve druhém ohnisku dráhy se keplerovský pohyb po elipse jeví přibližně jako rovnoměrný. Lze tedy říci, že druhé ohnisko má vlastnosti blízké vlastnostem hypotetického Ptolemaiova středu ekvantu. Následující graf (spočtený za stejných podmínek jako předchozí – viz výše sub 2.1) ukazuje, že časová závislost nepravé anomálie je téměř lineární.

Výpočtem lze ověřit, že např. pro Zemi (e » 0,0167) se nepravá anomálie od střední liší maximálně asi o 15", zatímco rozdíl pravé a střední anomálie dosahuje téměř 2°. Z toho lze vytěžit užitečný poznatek, že při numerickém řešení Keplerovy rovnice může hodnota E₀, určená ze vztahu

posloužit jako velmi dobrá první aproximace excentrické anomálie.