Statistický rozbor židovského kalendáře
(Otištěno v: CrP č. 1/1997)

Ve své knížce "Počítání času", kterou v roce 1995 vydal Astronomický ústav AV ČR v řadě "Scripta astronomica", a současně Štefánikova hvězdárna, popisuji židovský kalendář z hlediska jeho matematické teorie, to znamená za použití analytických postupů. Nabídky k otištění tohoto článku bych proto rád využil pro publikování některých výsledků, k nimž metodami elementární algebry dospět nelze, ale je možné je získat při nasazení výpočetní techniky. Na příslušnou kapitolu své knížky si také dovoluji odkázat laskavého čtenáře k podrobnějšímu úvodu do problematiky, na nějž zde, vzhledem k nutnosti omezené délky článku, není místo.

Čtenář mé knížky (jejíž znalost jsem v tomto článku nucen předpokládat) jistě již pochopil důvod nasazení počítače při studiu právě židovského kalendáře. Jsou jím velká čísla, k nimž docházíme při určování kalendářní periody, tj. délky období, po jehož uplynutí se jednotlivé typy roků opakují ve stejném sledu, a která je proto jakousi mírou jeho složitosti. A vskutku: zatímco pro kalendář juliánský činí tato perioda pouhé 4 roky a pro gregoriánský kalendář 400 let, pro kalendář židovský vychází délka 689472 let! Navíc zde nemáme jen 2 typy roků jako v kalendáři křesťanském, nýbrž 6 typů. Přihlédneme-li ke keviot, existuje typů 14; to je sice stejně jako možných kombinací našich nedělních písmen, avšak je prakticky nemožné vysledovat v jejich střídání nějakou jednoduchou pravidelnost.

Pro tento článek jsem vybral tři úlohy, při jejichž řešení se bez počítače sotva lze obejít, alespoň mně se žádnou elementární metodu jejich řešení nalézt nepodařilo. Problematika židovského kalendáře se tím samozřejmě nevyčerpává, ale o tom snad někdy příště.

1. S jakou frekvencí se opakují roky jednotlivých typů?

Obyčejné a přestupné roky se opakují v 19-letém cyklu o 235 měsících, jejich poměr proto činí 12:7. Vzhledem k délce periody je proto celkový počet obyčejných roků roven 435456, přestupných 254016. Obě tato čísla však zahrnují roky neúplné, normální i nadpočetné.

K získání dílčí informace můžeme ještě využít toho, že známe přesnou délku periody ve dnech (má jich 251827457). Zavedeme-li pro počty roků jednotlivých typů symboly x, y, z, X, Y, Z, můžeme psát soustavu rovnic

x + y + z  = 435456,

X + Y + Z = 254016,

353x + 354y + 355z + 383X + 384Y + 385Z = 251827457,

z níž plyne

(z + Z) – (x + X) = 133889.

Takto se nám podařilo určit rozdíl celkového počtu nadpočetných a neúplných roků v periodě, avšak opět bez rozlišení roků obyčejných a přestupných.

Oba předchozí výsledky jsou obsahem cv. 22 v mé knížce. Jak je vidět, jsou to výsledky poměrně hubené – analytické metody toho, zdá se, o statistice židovského kalendáře mnoho říci nemohou. Ke slovu proto musí přijít počítač a program, který roky jednoduše "spočítá na prstech", tzn. projde celou periodu, pro každý rok určí jeho typ a do příslušného "okénka" si "udělá čárku" (odborně se tomu říká histogram). Můžeme mu to dokonce trochu zkomplikovat požadavkem, aby bral do úvahy i den v týdnu, jímž rok začíná (1. Tišri, Roš haššana), čímž vlastně určí frekvenci jednotlivých keviot. Zde jsou výsledky:


 

 

obyčejný rok

přestupný rok

1.Tišri

neúplný

normální

nadpočetný

neúplný

normální

nadpočetný

pondělí

39369

81335

40000

32576

úterý

43081

36288

čtvrtek

124416

22839

26677

45899

sobota

29853

94563

40000

32576

celkem

69222

167497

198737

106677

36288

111051

Výpočtem se lze přesvědčit, že tyto údaje jsou ve shodě s předchozími výsledky. Za povšimnutí stojí jednak výskyt "kulatého" čísla 40000, jednak shoda prvního a posledního řádku tabulky u přestupného roku. Může jít ovšem o shodu náhodnou – alespoň se mi nepodařilo přijít na to, proč přestupné roky "Bet" a "Zajin" mají stejnou frekvenci pro obě délky, přicházející v úvahu. Je dost možné, že tato skutečnost není ani dosud známa.

2. Jakou délku může mít cyklus?

Tzv. malý cyklus židovského kalendáře (machzor katan), určující střídání obyčejných a přestupných roků, obsahuje 19 let, z toho 12 obyčejných a 7 přestupných. Jeho nejkratší myslitelná délka (pokud by se měl skládat je samých neúplných roků) by činila 6917 dnů, nejdelší naopak (samé nadpočetné) 6955 dnů. Tyto hypotetické meze jsou ovšem daleko za skutečnými, takovéto "extrémní" cykly totiž nejsou možné. Důvod spočívá v principu určení Nového roku: najdeme-li den, na nějž připadá molad Tišri, pak Nový rok (Roš haššana) se s ním buď shoduje, nebo může být o 1 nebo o 2 dny opožděn podle některého z pravidel dechijot. Cyklus obsahuje 235 měsíců, což odpovídá časovému intervalu 6939 dnů a 17875 chalakim mezi prvními molady dvou po sobě následujících cyklů. To znamená, že vychází-li molad Tišri prvního roku cyklu na den o juliánském datu JD, v cyklu následujícím může vyjít buď na den JD+6939 nebo JD+6940. Možná data pro Nový rok jsou proto v prvním případě JD, JD+1 nebo JD+2, v dalším cyklu přicházejí v úvahu dny JD+6939, JD+6940, JD+6941 nebo JD+6942. Největší možná délka cyklu je proto 6942 dny, nejmenší naopak 6937 dnů.

Toto nám však ještě nedává odpověď na otázku, zda všechny tyto délky se skutečně realizují, popřípadě s jakou frekvencí. Zde musíme opět nasadit počítač. Program projde všechny cykly v periodě, určí jejich délky a spočítá statistiku. Výsledky jsou následující:

Délka cyklu

Četnost

6937

0

6938

0

6939

17099

6940

13648

6941

5246

6942

295

Celkem

36288

Pozornost zasluhují první dvě nuly, ukazující, že nejkratší možná délka cyklu je ve skutečnosti 6939 dnů. Ta je, jak vidíme, současně nejčastější, zatímco nejdelší možný cyklus (4942 dnů) je opravdovou vzácností.

3. Mohou se židovské velikonoce shodovat s křesťanskými?

Když křesťanská církev na Nicejském koncilu r. 325 přijímala juliánský kalendář, jedním z motivů byla snaha po vlastním pravidle pro stanovení data velikonoc, nezávislého na datu tohoto svátku (pesach) v kalendáři židovském. Křesťané prý dokonce nechtěli, aby se tyto dva svátky slavily současně. Na druhé straně bylo třeba zachovat velikonoce jako svátek lunisolární, protože rok Ježíšovy smrti (a tím ani den a měsíc podle juliánského kalendáře) nebyl přesně znám – vědělo se jen, že to bylo o pesachu. Kompromisní řešení těchto protichůdných požadavků bylo nakonec nalezeno v zavedení epakty, jejíž pomocí určujeme křesťanské velikonoce dodnes (známý je např. Gaussův vzorec).

Avšak mělo toto opatření skutečně "žádoucí" efekt? Opět nezbývá než přibrat na pomoc výpočetní techniku. Program pracuje následovně: pro jednotlivé roky počítá křesťanské velikonoce, převádí je na JD, totéž pak pro židovský pesach (15. Nisan) a zobrazuje zaznamenané shody. Zde jsou výsledky:

A) Juliánský kalendář byl křesťany přijat r. 325, starší data tedy není třeba zkoumat. První historickou shodu obou svátků zjišťujeme již 27. března 343, tedy ani ne 20 let po Nicejském sněmu. Další následují v letech 347, 367, 370, 374, 394, 401, 414, 418, 421, 441, 445, 465, 496, 499, 519, 523, 536, 543, 563, 570, 590, 594, 614, 743 a 783, celkem tedy 26 případů. Poslední velikonoční nedělí podle juliánského kalendáře, shodující se s židovským pesachem, je 23. březen 783 (alespoň žádná další shoda nebyla nalezena)

B) Gregoriánský kalendář byl zaveden r. 1582. V intervalu do r. 2000 bylo nalezeno 8 případů shody, a to v letech 1609, 1805, 1825, 1903, 1923, 1927, 1954 a 1981. V 21. století žádná shoda nenastane, k nejbližší dojde až 11. dubna 2123. Pokračování výpočtu (provedl jsem do r. 4000) ukazuje, že koincidence obou svátků se bude vyskytovat i nadále. Frekvence kolísá (např. ve 27. století ke shodě nedojde vůbec, podobně jako ve století osmnáctém), avšak hned ve století následujícím se opakuje šestkrát.