Paradox mamuta
Je obecně známo, že pračlověk lovil mamuty do pastí, které vyhloubil na jejich stezkách. Kopat jámy je ovšem namáhavé, takže vcelku brzo dospěl úvahou k závěru, že není třeba hloubit past delší, než je délka mamuta. I při této mezní situaci bude totiž mamut v určitém okamžiku celý nad jámou a gravitace už vykoná své. Pračlověk-relativista vidí situaci ještě příznivěji: bude-li se mamut pohybovat rychlostí blízkou rychlosti světla, jeho délka se zkrátí, v důsledku čehož spadne do jámy ještě spolehlivěji. I vykopal pračlověk jámu o délce L0, rovné klidové délce mamutově. Mamut ovšem také nebyl žádný nevzdělanec a pračlověkovu úvahu zpochybnil: budu-li se pohybovat rychlostí blízkou rychlosti světla, řekl si, v mé vztažné soustavě se zkrátí délka jámy, takže se přes ni spolehlivě přenesu. Takto uklidněn, rozběhl se mamut k nastražené pasti. A co myslíte, děti, chytil se do ní nebo nechytil?
Označme
jako čárkovanou soustavu mamutovu, jako nečárkovanou soustavu jámy. Mamutův
ocas nechť je bodem č. 1, chobot bodem č. 2, začátek jámy č. 3 a konec jámy č.
4 (viz obrázek). Počátek mamutovy soustavy budiž v bodě 1, počátek soustavy
jámy v bodě 3. Společná klidová délka obou je L0, takže platí: x'1 = 0, x'2 = L0,
x3 = 0, x4 = L0.
Hodiny v obou soustavách synchronizujme tak, že t = t' = 0
v okamžiku, kdy tyto počátky (body 1 a 3) koincidují, tedy když ocas
mamuta je přesně nad předním okrajem jámy. Na našem obrázku jsou obě soustavy
nakresleny v klidu, takže délka mamuta i jámy se jeví stejně. Soustava mamuta
se ovšem pohybuje vůči soustavě jámy v kladném směru osy x
rychlostí v.
Podívejme se na situaci nejprve z hlediska pračlověka, sedícího nehybně poblíž jámy (na obrázku nezachycen). V jeho vztažné soustavě má ocas resp. chobot mamuta souřadnice x1, x2 a pode Lorentzových transformačních vztahů lze psát
x'1 = a (x1 – vt), x'2 = a (x2 – vt)
kde
je známý relativistický koeficient (použili jsme přímou Lorentzovu transformaci, protože nás zajímá, zda mohou nastat obě události – pád ocasu a chobotu mamuta – současně z hlediska pračlověka, tedy ve vztažné soustavě spojené s jámou.) Dosazením výše uvedených hodnot získáme
0 = a (x1 – vt), L0 = a (x2 – vt).
V okamžiku t = 0 je samozřejmě x1 = 0, ale také
.
Pro pračlověka tedy skutečně existuje okamžik, kdy se celý mamut nachází nad jámou a bude tudíž bezpečně uloven. Vyjádřeme to ještě jinak: V pračlověkově soustavě nastanou obě události, totiž "pád ocasu" (x1 = 0) a "pád chobotu" (x2 < L0) současně, totiž v čase t = 0.
Jaký je ale pohled mamutův? V jeho vztažné soustavě je jáma skutečně kratší, než on sám, neboť
x3 = a (x'3 + vt'), x4 = a (x'4 + vt'),
v důsledku čehož se mu délka jámy jeví jako
L = x'4 – x'3 = (x4 – x3)/a = L0/a.
Kde se ale pro něj nacházejí její okraje? Dosazením výše uvedených hodnot do Lorentzových vztahů
x'3 = a (x3 – vt), x'4 = a (x4 – vt)
dospějeme k závěru: x'3 = 0, x'4 = aL0 > x'2, tedy že konec jámy je ještě dostatečně daleko před mamutovým chobotem.
Jak je to možné? Zpětná Lorentzova transformace času říká, že
odkud
.
Pro naši kritickou hodnotu t = 0 tak platí
.
To znamená, že sice t'1 = 0, ale
.
Jinými slovy, mamutův chobot padá dříve než jeho ocas. V čase t'2 se chobot mamuta pro pračlověka nachází v bodě
.
S využitím vztahu pro a dostáváme
x2 = L0/a < x4,
což znamená, že chobot ještě nedorazil ke konci jámy.
Paradox mamuta (jako ostatně každý paradox v teorii relativity) je tedy paradoxem jen zdánlivým. Naopak potvrzuje základní Einsteinův postulát, že ve všech vztažných soustavách musí platit stejné fyzikální zákony, a že v nich tudíž všechny pokusy dopadnou stejně. Zde opravdu vidíme, že ať je pozorovatelem kdokoliv, mamut skončí v pasti. Rozdílné je jen vysvětlení – ve vztažné soustavě pračlověka je založeno na kontrakci délek, v soustavě mamuta na relativitě současnosti.