Paradox mamuta

Je obecně známo, že pračlověk lovil mamuty do pastí, které vyhloubil na jejich stezkách. Kopat jámy je ovšem namáhavé, takže vcelku brzo dospěl úvahou k závěru, že není třeba hloubit past delší, než je délka mamuta. I při této mezní situaci bude totiž mamut v určitém okamžiku celý nad jámou a gravitace už vykoná své. Pračlověk-relativista vidí situaci ještě příznivěji: bude-li se mamut pohybovat rychlostí blízkou rychlosti světla, jeho délka se zkrátí, v důsledku čehož spadne do jámy ještě spolehlivěji. I vykopal pračlověk jámu o délce L0, rovné klidové délce mamutově. Mamut ovšem také nebyl žádný nevzdělanec a pračlověkovu úvahu zpochybnil: budu-li se pohybovat rychlostí blízkou rychlosti světla, řekl si, v mé vztažné soustavě se zkrátí délka jámy, takže se přes ni spolehlivě přenesu. Takto uklidněn, rozběhl se mamut k nastražené pasti. A co myslíte, děti, chytil se do ní nebo nechytil?

Označme jako čárkovanou soustavu mamutovu, jako nečárkovanou soustavu jámy. Mamutův ocas nechť je bodem č. 1, chobot bodem č. 2, začátek jámy č. 3 a konec jámy č. 4 (viz obrázek). Počátek mamutovy soustavy budiž v bodě 1, počátek soustavy jámy v bodě 3. Společná klidová délka obou je L0, takže platí: x'1 = 0, x'2 = L0, x3 = 0, x4 = L0. Hodiny v obou soustavách synchronizujme tak, že t' = 0 v okamžiku, kdy tyto počátky (body 1 a 3) koincidují, tedy když ocas mamuta je přesně nad předním okrajem jámy. Na našem obrázku jsou obě soustavy nakresleny v klidu, takže délka mamuta i jámy se jeví stejně. Soustava mamuta se ovšem pohybuje vůči soustavě jámy v kladném směru osy x rychlostí v.

Podívejme se na situaci nejprve z hlediska pračlověka, sedícího nehybně poblíž jámy (na obrázku nezachycen). V jeho vztažné soustavě má ocas resp. chobot mamuta souřadnice x1, x2 a pode Lorentzových transformačních vztahů lze psát

x'1 = a (x1vt),    x'2 = a (x2vt)

kde

je známý relativistický koeficient (použili jsme přímou Lorentzovu transformaci, protože nás zajímá, zda mohou nastat obě události – pád ocasu a chobotu mamuta – současně z hlediska pračlověka, tedy ve vztažné soustavě spojené s jámou.) Dosazením výše uvedených hodnot získáme

0 = a (x1vt),    L0 = a (x2vt).

V okamžiku t = 0 je samozřejmě x1 = 0, ale také

.

Pro pračlověka tedy skutečně existuje okamžik, kdy se celý mamut nachází nad jámou a bude tudíž bezpečně uloven. Vyjádřeme to ještě jinak: V pračlověkově soustavě nastanou obě události, totiž "pád ocasu" (x1 = 0) a "pád chobotu" (x2 < L0) současně, totiž v čase t = 0.

Jaký je ale pohled mamutův? V jeho vztažné soustavě je jáma skutečně kratší, než on sám, neboť

x3 = a (x'3 + vt'),    x4 = a (x'4 + vt'),

v důsledku čehož se mu délka jámy jeví jako

L = x'4x'3 = (x4x3)/a = L0/a.

Kde se ale pro něj nacházejí její okraje? Dosazením výše uvedených hodnot do Lorentzových vztahů

x'3 = a (x3vt),    x'4 = a (x4vt)

dospějeme k závěru: x'3 = 0, x'4 = aL0 > x'2, tedy že konec jámy je ještě dostatečně daleko před mamutovým chobotem.

Jak je to možné? Zpětná Lorentzova transformace času říká, že

odkud

.

Pro naši kritickou hodnotu t = 0 tak platí

.

To znamená, že sice t'1 = 0, ale

.

Jinými slovy, mamutův chobot padá dříve než jeho ocas. V čase t'2 se chobot mamuta pro pračlověka nachází v bodě

.

S využitím vztahu pro a dostáváme

x2 = L0/a < x4,

což znamená, že chobot ještě nedorazil ke konci jámy.

Paradox mamuta (jako ostatně každý paradox v teorii relativity) je tedy paradoxem jen zdánlivým. Naopak potvrzuje základní Einsteinův postulát, že ve všech vztažných soustavách musí platit stejné fyzikální zákony, a že v nich tudíž všechny pokusy dopadnou stejně. Zde opravdu vidíme, že ať je pozorovatelem kdokoliv, mamut skončí v pasti. Rozdílné je jen vysvětlení – ve vztažné soustavě pračlověka je založeno na kontrakci délek, v soustavě mamuta na relativitě současnosti.