Plyn z hlediska molekulové fyziky
(pokročilejší metody)

1. Odvození Maxwellova rozdělení

Uvažujme plyn tvořený N stejnými molekulami, uzavřený v objemu V. Molekuly mají různé (náhodné) rychlosti, jak co do velikosti, tak i co do směru. Rychlost každé molekuly má 3 navzájem kolmé složky, odpovídající kartézským souřadnicím, tj. v = (v_x, v_y, v_z). Každou z těchto tří složek lze považovat za náhodnou veličinu, a průměrnou hodnotou rovnou nule (v žádném ze souřadnicových směrů není pravděpodobnější kladná nebo záporná orientace rychlosti). Pro pravděpodobnost výskytu x-ové složky v intervalu (v_x, v_x + dv_x) lze tedy předpokládat hodnotu danou Gaussovým normálním rozdělením

,

kde v₀ je nějaký parametr rozměru rychlosti (směrodatná odchylka rozdělení je rovna v₀/Ö2), jehož fyzikální význam vyplyne z dalšího. Stejné rozdělení bychom mohli napsat pro složky v_y a v_z. Normovací konstanta (1/Öp) je volena tak, aby

.

[Při výpočtu použijeme substituci b = v/v₀ a poté b² = t, čímž integrál převedeme na Eulerovu G-funkci, konkrétně G(1/2) = Öp].

Chceme-li nyní najít rozdělovací funkci pro velikost rychlosti, přejdeme od kartézských souřadnic ke sférickým prostřednictvím známých transformačních vztahů

v_x = v sin J cos j

v_y = v sin J sin j

v_z = v cos J

a obráceně

v² = v_x² + v_y² + v_z².

Pravděpodobnost, že velikost rychlosti molekuly bude ležet v intervalu (v, v + dv), najdeme integrací přes všechny směry, tj. přes všechny možnosti, jak se tato výsledná rychlost může realizovat prostřednictvím složek:

Vzhledem k transformačním vztahům je

,

takže

.

Dvojný integrál na konci tohoto výrazu je roven 4p (srov. výpočet povrchu koule), takže pro výsledný tvar Maxwellova rozdělení rychlostí dostáváme

.

Tento výraz udává pravděpodobnost, že rychlost náhodně vybrané molekuly bude ležet v intervalu (v, v + dv). Samotnou funkci F(v) proto nazýváme hustota pravděpodobnosti. Výpočtem se lze přesvědčit, že

.

[Použijeme opět G-funkci, konkrétně G(3/2) = Öp/2]. Počet molekul v tomto rychlostním intervalu je pak dN = N·F(v)·dv. Následující graf funkce F(v) je nakreslen pro teplotu T = 2000 K.

2. Nejpravděpodobnější rychlost a střední kvadratická rychlost

Maximum funkce F(v) najdeme standardním způsobem jako nulový bod její derivace. Přitom bude opět výhodnější pracovat s bezrozměrným parametrem b = v/v₀ a funkcí f(b) takovou, že

f(b)·db = F(v)·dv,

tedy

.

Zjevně je

,

takže maximum funkce nastává pro b = 1 a tedy v = v₀. Parametr v₀ má tudíž fyzikální význam nejpravděpodobnější rychlosti molekuly v plynu.

Pracujeme-li s jednoatomovým plynem (např. He), je celková vnitřní energie plynu součtem kinetických energií posuvného pohybu jednotlivých molekul, tj.

.

Integrál v tomto výrazu (resp. odmocninu z něj) nazýváme střední kvadratická rychlost. Má význam rychlosti, jakou by měly všechny molekuly, kdyby si rovným dílem rozdělily kinetickou energii (m je hmotnost 1 molekuly – předpokládáme chemicky homogenní plyn, takže hmotnost všech molekul je stejná). Výpočet za použití již známých substitucí nás dovede k hodnotě

[použili jsme hodnotu G(5/2) = (3/4)Öp]. Na druhé straně, na základě jednoduché modelové představy lze za pomoci stavové rovnice odvodit

z čehož pro nejpravděpodobnější rychlost plyne

(k je Boltzmannova konstanta) Nejpravděpodobnější energii molekuly při dané teplotě T přísluší tudíž hodnota

,

Celková vnitřní energie plynu je pak rovna

.