Spadl jste z Měsíce…?

Všichni známe 1. Keplerův zákon, podle nějž se, řečeno dnešní terminologií, tělesa v newtonovském gravitačním poli pohybují po kuželosečkách. Je ale také možný pohyb po přímce, tedy vlastně volný pád? Samozřejmě ano, pokud je tečná složka rychlosti (a tím i "plošná rychlost", která se podle 2. Keplerova zákona nemění) rovna nule. [Poznamenejme, že případ "pádu z Měsíce" to v pravém slova smyslu není, protože Měsíc samozřejmě orbitální pohyb má.] Představme si ale hypotetické těleso o hmotnosti m v nějaké počáteční vzdálenosti r₀ od Země (třeba ve vzdálenosti Měsíce), které by opravdu bylo vůči Zemi v klidu (tj. mělo nulovou počáteční rychlost) a muselo by tedy začít "volně padat" k Zemi. Jak dlouho by takový pád trval, jaký by měl průběh, a jakou rychlostí by těleso dopadlo na zemský povrch?

Vyjděme ze zákona zachování mechanické energie:

,

odkud

neboli

(záporné znaménko volíme proto, že r s časem klesá). Zavedeme-li substituci

, ,

přejde rovnice na tvar

a tedy

.

Substitucí

přejde integrál na tvar

.

Primitivní funkce je

a proto

Inverzí substituce obdržíme

Tento vztah představuje jakousi obdobu Keplerovy rovnice pro přímočarý pohyb (volný pád), pouze s tím rozdílem, že hledanou funkcí času je v něm vzdálenost a ne úhel (excentrická anomálie). Vyjádřit inverzní funkci, tj. x = x(t), je prakticky nemožné, rovnice by se musela řešit numerickými metodami. Na následujícím obrázku je graf, vytvořený jednoduchým trikem – přímým výpočtem funkce na pravé straně a prohozením os.

Z nalezené funkce můžeme snadno určit "charakteristickou dobu pádu", tj. dobu, za kterou by těleso (hypoteticky) dopadlo až k zemskému středu, prostým dosazením x = 0 (chyba, kterou tím uděláme, je nepatrná, neboť poslední fáze pohybu – od povrchu ke středu Země – by již byla velmi rychlá). V tom případě je w·t₁ = argcot 0 = p/2, a tedy

.

Jelikož oběžná doba po kružnici o poloměru r₀ je

,

je charakteristická doba pádu rovna

.

Z Měsíce bychom tudíž padali necelých 5 dnů.

Co se týče dopadové rychlosti, ta se pro x à 0 blíží nekonečnu (viz následující graf), což je samozřejmě zcela nefyzikální. Pokud bychom se zajímali o dopad na zemský povrch, víme, že Měsíc je od Země vzdálen asi 60 zemských poloměrů, za x proto dosadíme hodnotu 1/60. Rychlost, kterou můžeme vyjádřit ve tvaru

,

v daném případě vychází kolem 11 km/s, tedy blížící se 2. kosmické rychlosti. Je to docela logické, neboť stejnou rychlost by potřebovalo těleso na povrchu Země, aby se dostalo na Měsíc.