Uspořádání měsíců v roce

Společnosti a kultury, které používají lunární nebo lunisolární kalendáře, si velmi zakládají na tom, že podle nich dokáží spolehlivě určit měsíční fáze, zejména nov, a to nejen z hlediska dlouhodobého průměru, ale pokud možno pokaždé. To ovšem předpokládá mít zajištěnu nejen dobrou přesnost sekulární (tj. průměrnou délku měsíce, danou kalendářním systémem), ale i krátkodobou, včetně rozumného uspořádání měsíců během roku. Vzhledem k tomu, že střední délka lunace je přibližně rovna 29½ dne, jeví se přirozeným řešením problému střídání měsíců o 30 a 29 dnech (tzv. "plných" a "prázdných"). Nedochází-li během roku k dalším změnám, je v tomto případě počet dnů od začátku roku do konce předchozího měsíce vyjádřen jednoduchou funkcí

.

Tento systém je typický pro lunární kalendáře islámu, kde se pouze na konci 12. měsíce v určitých letech přidává přestupný den, jehož účelem je zlepšení sekulární přesnosti. Jde ovšem pouze o přesnost měsíčních fází – k ročním dobám nemá muslimský kalendář žádný vztah a roky v něm jsou ryze formální.

O něco složitější je systém střídání měsíců v kalendáři židovském. Ten je lunisolární, což znamená, že kromě měsíčních fází se snaží vystihnout i periodicitu střídání ročních dob (tropický rok). Proto se do některých roků (tzv. přestupných) zařazuje jeden měsíc navíc, neboť 12 lunárních měsíců (ca. 354 dnů) je ve srovnání s tropickým rokem doba výrazně kratší. Rok tedy může být buď obyčejný o 12 měsících nebo přestupný o 13 měsících. Každý z nich pak ještě může být buď neúplný (353 resp. 383 dny), normální (354 resp. 384 dny) nebo nadpočetný (355 resp. 385 dnů). Celkem tedy může mít rok 6 různých délek. Pro délky jednotlivých měsíců v těchto rocích pak platí následující pravidla:

(a)      V normálních obyčejných rocích se střídají plné a prázdné měsíce, tak jako předešle.

(b)      V neúplných rocích se třetí měsíc (Kislev) "vyprazdňuje" (má 29 dnů); naopak v nadpočetných rocích se druhý měsíc (Chešvan) "naplňuje" (má 30 dnů).

(c)      V přestupných rocích se tzv. embolismický měsíc (Va’adar) vkládá mezi měsíc šestý (Adar) a sedmý (Nisan). Je "prázdný", zatímco Adar se stává "plným".

Výsledek ukazuje následující tabulka:

Měsíc

Obyčejný rok

Přestupný rok

neúplný

normální

nadpočetný

neúplný

normální

nadpočetný

Tišri

30

30

30

30

30

30

Chešvan

29

29

30

29

29

30

Kislev

29

30

30

29

30

30

Tevet

29

29

29

29

29

29

Ševat

30

30

30

30

30

30

Adar

29

29

29

30

30

30

Va’adar

29

29

29

Nisan

30

30

30

30

30

30

Ijjar

29

29

29

29

29

29

Sivan

30

30

30

30

30

30

Tammuz

29

29

29

29

29

29

Av

30

30

30

30

30

30

Elul

29

29

29

29

29

29

Celkem

353

354

355

383

384

385

 

Vidíme, že vystihnout počet dnů od začátku roku matematickou funkcí už nebude tak snadné. Tato funkce bude muset kromě pořadí měsíce v roce (M) obsahovat ještě další 2 parametry, charakterizující typ příslušného roku. Přirozenou se jeví následující volba: první z parametrů (x) bude udávat přestupnost roku, tj.v obyčejných rocích bude roven 0 a v přestupných 1; druhý parametr (y) bude roven 0 v rocích neúplných, 1 v normálních a 2 v nadpočetných. Délka roku je pak rovna

L(x, y) = 353 + 30x + y.

Známe-li tedy délku roku (a tím jeho typ), parametry x, y můžeme snadno určit. (Jinou otázkou je, jak se typ roku určí z letopočtu, to ovšem není tématem tohoto článku.) Funkce s(M) je tentokrát, jak již bylo naznačeno, poněkud složitější a neobejde se bez podmíněných výrazů. Uvádím 2 varianty vzorce pro výpočet funkce v "neutrální symbolice", která sice asi přesně neodpovídá syntaktickým pravidlům nějakého konkrétního vývojového prostředí, ale je snad dostatečně srozumitelná, aby si ji čtenář do takové formy (např. MS Excelu) mohl snadno převést.

Měsíce se ovšem vyskytují i v kalendářích solárních, přestože v nich již pozbyly bezprostřední vazby na měsíční fáze. Rozdělení roku na 12 dílů je prostě tradice natolik v lidstvu "kulturně zakořeněná", že se bez ní nedokážeme obejít, ani když se její původní význam zcela vytratil. V těchto kalendářích lze pak vystopovat zhruba 3 základní schémata, jak uspořádat ony díly roku, jimž se vlastně jen ze setrvačnosti říká "měsíce". Jsou to:

a)      střídání delších a kratších měsíců ("římský systém"),

b)      měsíce stejné délky ("koptský systém"),

c)      delší a kratší měsíce pohromadě ("perský systém").

 

Ad a) Tento systém je asi nejstarší a je přirozeným dědicem lunisolárního kalendáře. Ten používali Římané až do Caesarovy reformy z r. 46 př.n.l., která vešla do dějin jako reforma juliánská. Aby bylo dosaženo délky slunečního roku, střídaly se měsíce o 31 a 30 dnech. Římský rok začínal původně březnem, takže na poslední měsíc (únor) zbylo 28 dnů. Do něj se také vkládal den v přestupném roce a tuto tradici dodržujeme dosud, i když od Ceasarových dob začínáme rok 1. lednem. Později došlo ještě k určitému "přerozdělování" dnů mezi měsíci, takže náš současný kalendář už působí poněkud chaoticky (dvakrát za rok následují po sobě 2 měsíce o 31 dnech). Najít pro tento model funkci s(M) je jakž takž snadné za předpokladu, že se jakoby vrátíme k původnímu římskému začátku roku 1. března, tzn. že leden a únor budeme považovat za třináctý a čtrnáctý měsíc předchozího roku. Matematicky řečeno: je-li M < 3, přičteme 12 (a od roku odečteme 1). Potom pro takovýto "posunutý" rok lze najít:

.

Ad b) Egyptští Koptové vyřešili problém elegantně: místo složitého střídání delších a kratších měsíců zavedli měsíce jednotné délky – 30 dnů. Na konci roku pak vždy přidali 5, případně 6 dnů, které nepatřily žádnému měsíci. Naše funkce tím dostala jednoduchý tvar

s(M) = 30·(M – 1).

Pro zajímavost uveďme, že stejný systém byl použit i v revolučním kalendáři Francouzské republiky v období 1792 – 1805. Formálně lze do této skupiny zařadit i mayský rok haab, který měl 18 "měsíců" po 20 dnech a na konci rovněž 5 doplňkových dnů. Mayské dny i měsíce se ovšem počítaly od nuly, takže platilo:

s(M) = 20M.

Ad c) Snad nejdále v přizpůsobování kalendáře solárnímu roku dospěl perský básník a astronom Omar Chajjám. Již od dob Hipparchových bylo známo, že roční doby nemají stejnou délku. Chajjám proto zařadil nejprve 6 měsíců po 31 dnech, následujících 5 měsíců pak mělo 30 dnů. Poslední měsíc měl v obyčejném roce 29, v přestupném 30 dnů. Rok začínal poblíž jarní rovnodennosti, takže "světlá část" roku byla o 6 až 7 dnů delší než "tmavá část", což vcelku dobře vystihuje skutečnost, že průchod Země  perihelem nastává poblíž zimního slunovratu. Hledanou funkci lze pak vyjádřit ve tvaru

,

případně

.