Pohyb v homogenním poli s odporem prostředí

1. Odporová síla úměrná rychlosti

Předpokládejme, že těleso o hmotnosti m se pohybuje v poli konstantní síly , přičemž na ně ještě působí odporová síla, která je přímo úměrná rychlosti a má opačný směr (tak se obvykle modeluje pohyb tělesa v kapalině). Pohybová rovnice tělesa je

po úpravě

kde

je tzv. útlumový parametr a

je konstanta, mající rozměr rychlosti. Její fyzikální význam spočívá v tom, že charakterizuje pohyb při dosažení rovnováhy sil (je-li výslednice obou sil rovna nule, pohybuje se těleso konstantní rychlostí ). Připojíme-li ještě počáteční podmínku , snadno (substituční metoda) najdeme řešení ve tvaru

neboli

.

Prvním důsledkem tohoto řešení je rovinnost zkoumaného pohybu. Vidíme, že vektor okamžité rychlosti leží stále v rovině vytvořené konstantními vektory  a . Druhým důsledkem je, že rychlost se během pohybu neustále "vzdaluje" od počáteční hodnoty a naopak se "přibližuje" k vektoru , který tak můžeme považovat za její konečnou, resp. limitní hodnotu (systém směřuje k dosažení rovnováhy). Okamžitou polohu tělesa dostaneme přímou integrací s využitím další počáteční podmínky:

po úpravě

kde

.

Specielně, je-li počáteční rychlost nulová (volný pád), je

,

.

Pohyb je v tomto případě přímočarý, jak se i dalo očekávat.

Má-li uvažované těleso tvar koule o poloměru R a hustotu r, je jeho hmotnost samozřejmě rovna m = (4/3)pR3r. Pro konstantu k lze pak v literatuře najít vyjádření k = 6phR, kde h je viskozita kapaliny (Stokesův vzorec). Útlumový parametr tak dostaneme ve tvaru

.

V tíhovém poli země je síla F tvořena jednak silou gravitační, jednak silou vztlakovou, celkově F = (4/3)pR3(r – r0), kde r0 je hustota kapaliny. Limitní rychlost je proto

.

Například pro železnou (r = 7800 kg.m-3) kuličku o poloměru R = 0,5 mm ve vodě (r0 = 1000 kg.m-3, h = 0,001 kg.m-1.s-1) vychází l = 2,31 s-1 a v1 = 3,70 m/s. Graf neuvádíme, exponenciálu každý zná.

Poznámka: Výše uvedený postup lze použít i v jednodušší situaci, totiž že odporová síla je jedinou silou působící na těleso (tzn. F = 0 a tedy i v1 = 0). V tom případě je pohyb rovněž přímočarý a jeho rychlost exponenciálně klesá:

.

Okamžitá poloha je potom

.

 

2. Odporová síla úměrná druhé mocnině rychlosti

Tato závislost je charakteristická pro pohyb tělesa v plynu. Pohybová rovnice bude podobná jako předešle, zejména vzhledem k tomu, že odporová síla i zde musí mít směr opačný, než je směr rychlosti:

(symbol v bez šipky znamená velikost rychlosti).

(A) Zabývejme se nejprve případem přímočarého pohybu, tj. . Potom lze rovnici přepsat do skalárního tvaru

,

v němž A2 = F/m, B2 = K/m. Pokud předpokládáme A ¹ 0 (opačný případ je triviální a vlastně sem ani nepatří, neboť pak nejde o žádné homogenní pole), rozkladem na částečné zlomky získáme

,

odkud přímou integrací

.

Odtud lze přímo vyjádřit rychlost jako funkci času

.

I v tomto případě tedy vidíme, že rychlost se vzdaluje od počáteční hodnoty v0 a blíží se jiné rovnovážné hodnotě, tentokrát v1 = A/B (její fyzikální význam je stejný jako předešle). Integrační konstantu C určíme jako obvykle z počátečních podmínek – je-li pro t = 0 rychlost v = v0, musí být

neboli

.

Další přímou integrací najdeme dráhu tělesa

.

Specielně je-li v0 = 0 (volný pád), je též C = 0 a pro rychlost dostáváme

a pro dráhu

Poznámka: Pokud by náhodou platilo A – Bv0 = 0, tedy v0 = v1, je zrychlení od počátku rovno nule a úloha se redukuje na triviální případ rovnoměrného přímočarého pohybu.

(B) Přejděme nyní k obecnější úloze, kdy vektory  a  mohou svírat nějaký úhel a. Především si povšimněme, z úvodní rovnice plyne rovinnost pohybu (stačí ji vektorově vynásobit vektorem ). V rovině pohybu zvolme souřadnicovou soustavu (x; y) – jako vhodná volba se jeví soustava, v níž vektor  má souřadnice (0; –F), neboť typickou aplikací úlohy bude výpočet balistické křivky. Naše rovnice se tím rozpadne v soustavu

kde vx = sin a, vy = –cos a jsou složky rychlosti. S jejich pomocí přepíšeme soustavu na tvar

Levou stranu obou rovnic upravíme podle pravidla o derivaci součinu:

Standardním způsobem (sčítací metoda) můžeme soustavu zjednodušit na tvar

První z rovnic vyjadřuje tečnou, druhá normálovou složku zrychlení. Po vydělení hmotností získají rovnice tvar

,

v němž konstanty A, B mají stejný význam jako předešle. Vidíme, že pro a = 0 soustava přejde v původní rovnici pro přímočarý pohyb, tedy že je jejím zobecněním. Nadále budeme tudíž předpokládat a ¹ 0.

S použitím řetězového pravidla lze psát

,

což umožňuje redukovat soustavu 2 rovnic na rovnici jedinou

(čárka znamená derivaci podle a). To je Bernoulliova diferenciální rovnice, pro niž existuje standardní metoda řešení. Nejprve ji substitucí v = (A/Bz –1/2 převedeme na lineární diferenciální rovnici

.

Řešení homogenní rovnice (bez pravé strany) je z = f·sin2a, kde f je integrační konstanta; metoda variace konstanty nás dovede k podmínce

,

takže

,

kde C je integrační konstanta, kterou je třeba určit z počátečních podmínek (hodnot a0 a v0). Celkové řešení je tedy

,

odkud prostřednictvím výše uvedené substituce dostaneme vyjádření rychlosti, tj. v = v(a). Vzhledem k tomu, že (jak se lze snadno přesvědčit) je, znamená to, že rychlost se opět limitně blíží k rovnovážné hodnotě v1 = A/B.

Ze druhé rovnice soustavy nyní plyne

,

takže pro časovou závislost úhlu a platí

.

Pokud jde o souřadnice, je samozřejmě

,    .

Na druhé straně ovšem (řetězové pravidlo) platí

,   ,

což ve spojení s předchozími vztahy vede k vyjádření

,

.

Pokud by se podařilo spočítat analyticky poslední 3 integrály, tedy najít funkce t = t(a), x = x(a), y = y(a), a k první z nich najít funkci inverzní a = a(t), byla by úloha vyřešena v uzavřeném tvaru. Najít primitivní funkce se ale, vzhledem ke složitosti funkce z(a), zdá nemožné, v úvahu připadá numerická integrace, buď přímo v proměnné a, nebo v pomocné proměnné u, zavedené standardní substitucí = tan(a/2). Integrály pak změní podobu na

kde

.

Uvažujme opět těleso kulovitého tvaru s týmiž parametry jako předešle. Jeho hmotnost je m = (4/3)pR3r, průřez S = pR2. Konstantu K určíme z Newtonova vzorce K = (1/2)cSr0, v němž r0 je hustota uvažovaného plynu a odporový součinitel c má pro kouli hodnotu 0,48. V zemské atmosféře se tentokrát významně projeví jen síla gravitační (F = mg), vztlakovou sílu vzduchu (r0 = 1,21 kg/m3) lze zanedbat. Je proto

,   .

Pro naši železnou kuličku o poloměru 0,5 mm z toho vychází v1 = 13,25 m/s, AB = 0,74 s-1. Následující grafy demonstrují časovou závislost rychlosti a dráhy volného pádu ve srovnání s elementárním výpočtem bez započtení odporu vzduchu (tj. v = gt, s = gt2/2).

Pro výpočet balistické dráhy byly jako počáteční podmínky zvoleny hodnoty v0 = 100 m/s, a0 = 150° (tj. elevační úhel 60°). Materiál a poloměr kuličky zůstaly beze změny. Integrace byla prováděna obdélníkovou metodou v proměnné a s integračním krokem 1° (zmenšení integračního kroku výsledky nijak podstatně nezměnilo; na grafech je každý bod integrace vyznačen kolečkem). První graf zobrazuje časový průběh polohy a rychlosti kuličky, druhý pak vlastní tvar trajektorie.

Za povšimnutí stojí skutečnost, že rychlostní minimum je (oproti elementárnímu modelu bez odporu vzduchu) poněkud opožděno za okamžikem dosažení maximální výšky. Podstatný je rozdíl v dostřelu – pro zadané parametry asi 46 m, zatímco bez odporu vzduchu pro daný elevační úhel a počáteční rychlost vychází 884 m.

Když poloměr kuličky zvětšujeme, roste její čelní průřez se druhou mocninou, ale hmotnost se třetí mocninou poloměru. Důsledkem je, že vliv odporu vzduchu se stává stále méně významným v poměru k vlivu gravitace. Balistická dráha se stále více blíží parabole a dostřel výše uvedené hodnotě, která je jeho teoretickou horní mezí (s odporem prostředí nelze dostřelit dále než bez něj). Pro poloměr 5 mm vyjde dostřel asi 206 m, pro 5 cm asi 627 m a koule o poloměru 0,5 m doletí do vzdálenosti cca 861 m. Dosadíme-li za poloměr 5 m, dokonce tuto mez mírně přestřelíme, ale to už je zaokrouhlovací chyba modelu, vzniklá při numerické integraci.