Ohnisková rovnice kuželosečky

Mějme elipsu s poloosami a, b, parametrem p a číselnou výstředností e. Obecně známé jsou vztahy

b2 = a2·(1 – e2),

p = a·(1 – e2).

Umístíme-li počátek souřadnic do pravého ohniska, střed elipsy bude mít souřadnice [– ae; 0]. Středová rovnice má proto v tomto případě tvar

.

S využitím vztahu pro vedlejší poloosu lze po odstranění zlomků psát

(1 – e2)(x2 + 2aex + a2e2) + y2 = a2(1 – e2).

Jestliže nyní roznásobíme pouze 1. člen trojčlenu, bude

x2 + y2 = e2x2 + (1 – e2)(a2 – 2aexa2e2)

Z trojčlenu na pravé straně vytkneme hlavní poloosu a dále dvojím použitím vztahu pro parametr obdržíme

x2 + y2 = e2x2 + p(p – 2ex)

neboli

x2 + y2 = (exp)2.

Toto je ohnisková rovnice elipsy, ale platí i pro ostatní kuželosečky, jak se lze snadno přesvědčit. Její názorná geometrická interpretace vynikne přepsáním na tvar

.

Na levé straně je samozřejmě vzdálenost bodu kuželosečky od počátku, tj. od ohniska, výraz v absolutní hodnotě je roven vzdálenosti téhož bodu od tzv. řídicí přímky kuželosečky, což je kolmice k ose x v bodě x0 = p/e. Rovnice tedy říká, že poměr těchto vzdáleností je pro danou křivku konstantní a je roven numerické excentricitě.

Přejděme nyní od kartézských souřadnic k polárním, tj. x = cos j, sin j. V nich se rovnice změní na

r = |re cos jp| .

Je-li výraz v absolutní hodnotě kladný, znamená to

r (1 – e cos j) = – p

a tedy cos j > 1/e. To připadá v úvahu pouze pro e > 1, tedy pro hyperbolu. Příslušná rovnice

popisuje její druhou ("vzdálenější") větev. Ve fyzice se uplatní při popisu pohybu kladně nabité částice (např. a) v okolí atomového jádra, tedy při studiu Rutherfordova rozptylu.

Všechny ostatní kuželosečky (včetně "bližší" větve hyperboly), mají výraz v absolutní hodnotě záporný a jsou proto popsány rovnicí

.

Po takových drahách se, jak známo, pohybují tělesa v centrálním gravitačním poli.