Termodynamika ideálního plynu
(pokročilejší metody)

1. Práce při izotermickém ději

Práci plynu při expanzi z objemu V1 do objemu V2 můžeme obecně vyjádřit jako

.

Tlak vyjádříme ze stavové rovnice: p = nÂT/V. Je-li teplota konstantní, dostáváme

.

Práce tedy závisí jednak na teplotě plynu, jednak na tzv. expanzním poměru V2/V1. Obdobný vztah najdeme i pro práci vnějších sil při izotermické kompresi:

,

kde hodnotu V1/V2 nazýváme kompresní poměr.

2. Entropie

Napišme I. termodynamický princip v diferenciálním tvaru:

dQ = nCV·dT + p·dV.

Tlak vyjádříme opět ze stavové rovnice, takže po dosazení bude

Teplo dodané plynu není stavovou veličinou, což znamená, že jeho celkové množství závisí na tom, jaký děj probíhá mezi počátečním a konečným stavem plynu. Kdybychom chtěli v tuto chvíli integrovat, pak ve druhém členu bychom potřebovali znát funkci T = T(V), tzn. charakter příslušného děje. Matematicky vyjádřeno, výraz na pravé straně není totálním diferenciálem. Jestliže však rovnici vydělíme teplotou, pak výraz

již totálním diferenciálem je, takže veličina S je veličinou stavovou. Nazýváme ji entropie. Integrací najdeme

.

Podle Mayerovy rovnice platí  = Cp – CV, a zavedeme-li tzv. Poissonův exponent vztahem

,

obdržíme jednoduchou úpravou

neboli

.

Vzhledem k tomu, že z předchozích vztahů snadno plyne CV = Â/(k – 1), lze psát

kde a = 1/(k – 1). Specielně při izotermické expanzi je

,

neboť vykonaná práce je rovna dodanému teplu. To znamená, že přijímáním tepla a jeho současnou přeměnou v mechanickou práci se sice nemění vnitřní energie plynu (DU = 0), ale jeho entropie se zvyšuje (DS > 0). Naopak při izotermické kompresi je práce vykonaná vnějšími silami rovna odevzdanému teplu, zatímco

takže entropie plynu klesá (DS < 0). Obecně platí, že entropie roste při samovolných dějích, tj. takových, kdy daný fyzikální systém přechází ze stavu méně pravděpodobného do stavu pravděpodobnějšího (zde: plyn spontánně expanduje, jakmile dostane takovou možnost). Naopak k poklesu entropie může dojít jen při dějích vynucených, jimiž je systém nějakým vnějším působením uveden do méně pravděpodobného stavu (zde: vnější síly stlačí plyn do menšího objemu, jaký by "sám od sebe" nikdy nezaujal).

3. Adiabatický děj

Nedochází-li k tepelné výměně mezi plynem a jeho okolím (dQ = 0), je samozřejmě též DS = 0, takže adiabatický děj by se jinak mohl jmenovat izoentropický. Ze vztahu pro změnu entropie v tom případě plyne

.

To je Poissonův zákon pro adiabatický děj, vyjádřený v souřadnicích teplota-objem. Stručněji zapsáno:

Vynásobením stavovou rovnicí jej převedeme do obvyklejší formy, totiž do souřadnic tlak-objem:

Pro práci plynu při adiabatické expanzi samozřejmě platí W' = –DU, tzn. plyn, kterému nedodáváme žádné teplo, může pracovat jen na účet poklesu vlastní vnitřní energie – ochlazení. Naopak při adiabatické kompresi bude W = DU (nemůže-li teplo unikat do okolí, práce vnějších sil se projeví nárůstem vnitřní energie – zahřátím).

4. Carnotův cyklus

Při izotermické expanzi se veškeré dodávané teplo mění v mechanickou práci, lze tedy říci, že plyn pracuje se 100% účinností. Vnitřní energie plynu zůstává konstantní, avšak roste jeho objem, klesá tlak a zvyšuje se entropie. Tento proces nemůže pokračovat do nekonečna, už proto, že každý tepelný stroj má nutně omezené rozměry. Má-li stroj pracovat trvale, musí jít o děj periodický, tzn. že je nutné opakovaně vracet náš plyn do původního stavu. Pokud bychom však prováděli izotermickou kompresi při téže teplotě jako expanzi, byla by potřebná práce W přesně rovna práci W' vykonané plynem při expanzi, takže zisk by byl nulový. Činíme tak proto při teplotě nižší, jíž dosáhneme adiabatickou expanzí. Následnou adiabatickou kompresí se vrátíme k teplotě původní.

Carnotův cyklus se tedy skládá ze 4 fází:

1.      Izotermická expanze (1 à 2) při teplotě T1. Podle Boyle-Mariottova zákona platí . Plynu dodáváme z ohřívače teplo Q, které se mění v mechanickou práci

.

2.      Adiabatická expanze (2 à 3). Podle Poissonova zákona platí . Teplo již nedodáváme, ale necháme plyn pracovat na účet vlastní vnitřní energie, čímž klesne teplota z hodnoty T1 na hodnotu T2: ).

3.      Izotermická komprese (3 à 4) při teplotě T2. Obdobně jako v 1. fázi je . Působením vnějších sil zmenšíme objem plynu; ty však přitom nutně konají mechanickou práci, a aby se tím nezvýšila vnitřní energie plynu, musíme takto vzniklé teplo Q' odvádět do chladiče:

.

4.      Adiabatická komprese (4 à 1). Obdobně jako ve 2. fázi platí . Plyn stlačíme do původního stavu, přičemž vzniklé teplo neodvádíme, takže vykonaná mechanická práce se projeví vzrůstem vnitřní energie: .

Adiabatické fáze výsledný pracovní zisk neovlivní, neboť . Je proto

.

Jestliže nyní vynásobíme všechny 4 rovnice pro jednotlivé fáze cyklu, dostaneme po úpravě rovnost expanzního a kompresního poměru

,

takže

.

Účinnost cyklu je pak rovna

Tento výraz představuje teoretickou horní mez účinnosti jakéhokoli tepelného stroje, pracujícího mezi teplotami T1 (ohřívač) a T2 (chladič). Vidíme že vždy je h < 1, neboť v každém tepelném stroji nutně vznikají energetické ztráty, které musí být odvedeny ve formě "přebytečného" tepla do chladiče. Jinými slovy, teplo dodávané z ohřívače není v žádném periodicky pracujícím stroji využitelné beze zbytku. Tento poznatek je jen jinou formulací II. principu termodynamiky: Nelze trvale získávat mechanickou práci pouhým ochlazováním jednoho tělesa. Takový (hypotetický) stroj nazvali fyzikové "perpetuum mobile 2. druhu". Na rozdíl od "perpetua mobile 1. druhu", které by odporovalo I. termodynamickému principu (zákonu zachování energie), by sice neporušoval energetickou bilanci, ale dokázal by trvale a beze zbytku měnit energii chaotického pohybu molekul (teplo) v energii pohybu uspořádaného (mechanickou práci). II. termodynamický princip nám říká, že ani takové zařízení není fyzikálně možné.

Následující graf je spočten pro hodnoty: T1 = 800 K, T2 = 400 K, V1 = 1 L, V2 = 4 L, n = 5 mol, k = 5/3 (jednoatomový plyn).