Dlouhodobá a krátkodobá přesnost slunečních kalendářů

V teorii kalendáře se obvykle zajímáme především o tzv. dlouhodobou (sekulární) přesnost, tj. za jak dlouho se kalendář rozejde se skutečností o určitou hodnotu (zpravidla o den) v důsledku systematické chyby, kterou obsahuje. Podle toho je např. gregoriánský kalendář podstatně přesnější než juliánský, neboť zatímco rok juliánského kalendáře se rozejde se skutečnými ročními dobami o celý den již za 128 let, u gregoriánského kalendáře je tato doba mnohem delší (3320 let). Stanovení dlouhodobé přesnosti je samozřejmě klíčové pro posouzení použitelnosti toho kterého kalendářního systému v praxi. Poněkud opomíjená bývá krátkodobá přesnost, udávající, nakolik se kalendář shoduje se skutečností v jednotlivých měsících či letech, tedy na časových škálách podstatně kratších než je perioda uvažovaného systému. Přitom jde o charakteristiku neméně významnou.

Příklad: Perioda gregoriánského kalendáře je 400 roků, z toho je 303 obyčejných a 97 přestupných. Teoreticky by jistě bylo možné zařadit nejdříve všechny obyčejné roky (např. roky 1601 – 1903) a za ně všechny přestupné (1904 – 2000). Sekulární přesnost by tím neutrpěla, neboť střední délka kalendářního roku by byla stále táž (365,2425 dne). V rámci čtyřsetleté periody by se však nejprve po více než 3 století hromadila "egyptská chyba", tzn. každé čtyři roky by se roční období posouvala o den dále. Na začátku 20. století by jarní rovnodennost nastávala až začátkem června! Následující necelé století by tuto chybu, pravda, vykompenzovalo, ale je myslím jasné, že o takový kalendář by nikdo nestál. Genialitou Liliova projektu je, že do pravidelnosti dosavadního juliánského kalendáře zasahuje jen třikrát za 400 let, a to v téměř (i když ne zcela) rovnoměrných intervalech (jednoduchosti a snadné zapamatovatelnosti systému byla dána přednost před optimální krátkodobou přesností, což lze považovat za moudré rozhodnutí). Jinými slovy, reforma výrazně zlepšila sekulární přesnost, přičemž krátkodobá přesnost zůstala v podstatě zachována.

Při tvorbě kalendářního systému jde tedy nejen o to, jak ve správném poměru "namíchat koktejl" z obyčejných a přestupných roků, ale také o to, jak tyto roky vhodně rozmístit v rámci takto vytvořené periody.

(1) Začněme juliánským kalendářem. Jak je obecně známo, je tento kalendář založen na čtyřleté periodě, v níž jsou 3 roky obyčejné o 365 dnech a jeden rok přestupný, o den delší. Je to vždy rok dělitelný čtyřmi, přičemž přestupný den se vkládá do měsíce února. Pro účely kalendářních výpočtů se proto obvykle uchylujeme k následujícímu triku: měsíce leden a únor formálně připojujeme k roku předchozímu jako jeho třináctý a čtrnáctý měsíc. Takovýto "posunutý" rok tedy začíná třetím (březen) a končí čtrnáctým (únor) měsícem. Tím také dojde k tomu, že "přestupným" se vlastně stane rok předcházející, tj. takový, který při dělení čtyřmi dává zbytek 3. Potom funkce

vyjadřuje počet dnů od určitého pevně zvoleného počátku (tzv. éry) do konce roku R – 1. Čtyřletá perioda obsahuje 4×365 + 1 = 1461 dnů. Napíšeme-li proto rok ve tvaru

R = p0 + 4p1,

kde 0 £ p0 < 4 (tj. p1 je celočíselný podíl a p0 zbytek při dělení roku čtyřmi), lze psát

S(R) = 365p0 + 1461p1.

Sekulární a krátkodobá přesnost v tomto jednoduchém systému splývají v jedno. Střední délka roku je 1461/4 = 365,25 dnů, což na svou dobu dobře kompenzuje chybu egyptského "toulavého roku", ovšem vznik jednodenní chyby už za 128 let způsobil, že juliánský kalendář byl shledán trvale neudržitelným, a vedl posléze ke gregoriánské reformě.

(2) Tato reforma spočívala, jak je rovněž obecně známo, ve vynechání přestupného dne v rocích dělitelných stem, pokud ovšem nejsou zároveň dělitelné čtyřmi sty. Jinými slovy: každých 100 let se jeden přestupný den vynechá, ale každých 400 let se opět zařadí. Naše funkce tím lehce změní tvar na

.

[Poslední dva členy, spolu s jednorázovou kompenzací nahromaděné chyby, způsobí i mírný posun počátku éry, ale to pro naše úvahy nemá význam.]

Periodická struktura gregoriánského kalendáře je tedy již poněkud členitější. Kromě základní čtyřleté periody přibyla ještě perioda stoletá a zejména perioda nejdelší – čtyřsetletá. Rok je proto třeba rozepsat v podrobnějším tvaru

R = p0 + 4p1 +100p2 + 400p3,

v němž 0 £ p0 < 4, 0 £ p1 < 25, 0 £ p2 < 4. [Hodnoty koeficientů opět získáme postupným dělením se zbytkem.] Čtyřletá perioda je stejná jako v juliánském kalendáři – 1461 dnů. Období 100 let pak obsahuje 25×1461 – 1 = 36524 dnů, a konečně 400-letá perioda je dlouhá 4×36524 + 1 = 146097 dnů. Funkci S(R) lze proto psát ve tvaru

S(R) = 365p0 + 1461p1 +36524p2 + 146097p3.

O sekulární přesnosti vypovídá střední délka roku, jak je určena poměrem koeficientů příslušných k nejdelší periodě: vychází 146097/400 = 365,2425 dnů, což představuje velmi dobré přiblížení skutečné hodnotě (jednodenní chyba vznikne cca. za 3320 let). V rámci tohoto období lze pak mluvit o přesnosti "střednědobé", dané stoletou periodou: střední délka roku v ní je 36524/100 = 365,24 dne. Kalendář založený na této hodnotě by dosáhl jednodenní odchylky cca. za 455 let, tedy za období delší, než je perioda, jejímž rámci uvažujeme. Krátkodobá přesnost je zjevně stejná jako v juliánském kalendáři: chyba 1 dne by vznikla za 128 let, ale ke korekci dochází už za 100 let. Lze tudíž uzavřít, že v rámci periody odchylka kalendáře od skutečnosti nikdy nepřekročí 1 den.

(3) Pro srovnání uveďme ještě perský středověký kalendář, vytvořený v 11. století básníkem a astronomem Omarem Chajjámem. Jeho základní perioda byla stejná jako v juliánském kalendáři, čemuž samozřejmě odpovídala i stejná krátkodobá přesnost. Po osmi 4-letých cyklech následoval ještě jeden obyčejný rok, takže perioda trvala 33 let, z nichž bylo 8 přestupných. Její délka byla proto rovna 33×365 + 8 = 12053 dnům. Rok perského kalendáře je tudíž pro naše účely třeba zapsat ve tvaru

R = p0 + 4p1 + 33p2 + 1.

[Nejprve provedeme (R – 1)/33, celá část podílu je p2, zbytek následně dělíme čtyřmi, podíl je p1 a zbytek p0, avšak vyjde-li p1 = 8, klademe p1 = 7, p0 = 4.] Funkci S(R) dostaneme ve tvaru

S(R) = 365p0 + 1461p1 + 12053p2

[Poznámka: Přesné umístění přestupných roků v 33-letém cyklu není známo. Náš vzorec platí za předpokladu, že v rámci cyklu byly přestupné roky s pořadovým číslem dělitelným čtyřmi. Pro naše téma to ovšem nemá význam.]

Pro určení sekulární přesnosti použijeme opět střední délku roku, danou poměrem nejvyšších koeficientů: je rovna 12053/33 = 365,242424 dnům, což lze považovat za vynikající aproximaci skutečnosti. Jednodenní odchylka se nahromadí až po uplynutí 4435 let, což znamená, že Chajjámův kalendář překonává i námi dosud používaný kalendář gregoriánský, přestože vznikl o půl tisíciletí dříve. Krátkodobá přesnost je, jak již bylo uvedeno, stejná jako předešle, ovšem s tím rozdílem, že korekce přichází už po 33 letech.

Uvedené vzorce pro funkci S(R) se samozřejmě uplatní také při převodu kalendářního data na JD. Je-li datum v příslušném kalendáři charakterizováno trojicí "den-měsíc-rok" (D, M, R), pak pro juliánské datum téhož dne lze psát

JD = D + s(M) + S(R) + JD0,

kde funkce s(M) vyjadřuje počet dnů za uplynulé měsíce v roce. Konstanta JD0 se vztahuje k počátku příslušné éry, kterou daný kalendářní systém používá. Její hodnotu pro Chajjámův kalendář prozradíme – za předpokladu s(1) = 0 je JD0 = 2115235 (tzv. éra Džalál ad-Dínova), nalezení hodnot pro juliánský a gregoriánský kalendář přenecháme čtenáři za snadné cvičení.

[Návod: Ve smyslu výše uvedeného "triku" položte s(3) = 0.]