Rutherfordův rozptyl

Uvažujme kladně nabitou částici (např. částici a), pohybující se v blízkosti atomového jádra, jehož hmotnost je ve srovnání s hmotností částice tak velká, že pohyb jádra můžeme zanedbat. Z dynamiky pohybu v poli centrální síly (srov. pohyb v gravitačním poli) plyne, že dráhou částice je hyperbola, jejíž ohnisková rovnice (ohniskem je jádro) je

(p je parametr hyperboly, e její numerická excentricita). Ve velké (teoreticky nekonečné) vzdálenosti od jádra se částice pohybuje prakticky po asymptotě hyperboly, čemuž odpovídá hodnota j ₀ = arccos(1/e). To platí jak na počátku (před srážkou), tak na konci (po srážce), takže úhlová odchylka částice od původního směru, tzv. rozptylový úhel, je J = p – 2j ₀.

Asymptoty hyperboly jsou popsány rovnicí

,

kde b je vedlejší poloosa hyperboly. Přímým důsledkem je, že r ³ b, přičemž pro j₀ ± j = p/2 nastává rovnost, tedy že vedlejší poloosa představuje tzv. parametr srážky, tj. kolmou vzdálenost jádra od původní přímkové dráhy částice. Z geometrie hyperboly je známo, že

,

kde a je hlavní poloosa.

Jestliže nyní na celkovou plochu terčíku S dopadne za určitou dobu N částic, pak ty z nich, jejichž rozptylový úhel bude roven J nebo větší, musí mít parametr srážky roven b nebo menší (tzn. účinný průřez jádra pro takovou srážku je roven pb²). Jejich podíl na celku se proto rovná poměru "účinné" a celkové plochy terčíku:

,

kde n je "objemová hustota" jader v terčíku a D jeho tloušťka (mlčky předpokládáme, že fólie je velmi tenká, takže účinné průřezy jednotlivých jader se prakticky nepřekrývají). Podíl těch částic, jejichž rozptylový úhel bude ležet v intervalu (J; J + dJ), je tudíž roven

.

Tyto částice jsou rozptýleny do odpovídajícího prostorového úhlu

.

Veličina, kterou měříme, je

.

Funkce

se nazývá rozptylová funkce a její průběh vidíme na 2 následujících grafech, na prvním v logaritmické a na druhém v lineární škále. Vidíme, že sice prudce klesá, ale existují i částice s rozptylovým úhlem 180°. To přesně odpovídá výsledkům Rutherfordova pokusu.

Hlavní poloosu hyperboly určíme ze zákona zachování energie. V "nekonečné" vzdálenosti od jádra platí, že potenciální energie částice je rovna nule, tzn. že veškerá energie částice je v kinetické formě:

,

kde m je hmotnost částice a v₀ rychlost, s jakou byla proti jádru vystřelena. Jelikož pro celkovou energii částice s nábojem q v centrálním elektrostatickém poli jádra s nábojem Q platí

,

je hlavní poloosa rovna

.

V případě ostřelování jádra s protonovým číslem Z částicemi a je Q = Ze, q = 2e, a tudíž

.

Dosazením dostaneme výsledný tvar Rutherfordova vzorce pro rozptyl

.