Plyn z hlediska molekulové fyziky
(elementární metody)

1. Odvození tlaku

Uvažujme chemicky homogenní plyn uzavřený v kulovité nádobě o poloměru R. Jestliže molekula o hmotnosti m a rychlosti v_i narazí do stěny pod úhlem a, tečná složka její hybnosti mv_i·sin a se nezmění, zatímco normálová složka mv_i·cos a změní znaménko. Změna hybnosti při odrazu je tudíž rovna 2mv_i·cos a. Mezi dvěma takovými nárazy urazí molekula vzdálenost s = 2R·cos a, což představuje časový interval s/v_i = 2R·cos a / v_i. Jedna molekula tedy na stěny nádoby působí silou

.

což znamená, že v nádobě vyvolává tlak

.

(Použili jsme známé vzorce pro povrch a objem koule). Celkový tlak získáme sečtením příspěvků od všech molekul:

,

kde r je hustota a v_k střední kvadratická rychlost molekul plynu. S použitím stavové rovnice pV = NkT získáme vztah

,

odkud

.

Jestliže pracujeme s jednoatomovým plynem (např. He), lze celkovou vnitřní energii považovat za součet kinetických energií posuvného pohybu molekul (tj. neuvažujeme rotační pohyby):

,

odkud dostaneme

.

Vyjádřeno slovy: Tlak plynu je roven dvěma třetinám objemové hustoty vnitřní energie. Průměrná kinetická energie 1 molekuly je pak rovna

.

Tato rovnice je matematickým vyjádřením tzv. ekvipartičního teorému: Na každý stupeň volnosti pohybu molekuly připadá průměrná hodnota energie ½ kT. Zde uvažujeme jednoatomové, tedy vlastně bodové molekuly. Ty mají 3 stupně volnosti – mohou nezávisle měnit 3 souřadnice v prostoru (víceatomové mohou navíc rotovat).

2. Měrné tepelné kapacity

Napíšeme-li stavovou rovnici ve tvaru pV = nÂT, můžeme vnitřní energii vyjádřit ve tvaru

.

Ze vztahu DU = n·C_V·DT potom plyne izochorická měrná tepelná kapacita plynu

.

Pro izobarickou měrnou tepelnou kapacitu poskytne Mayerova rovnice

,

což znamená, že Poissonův exponent má hodnotu

.

Tato hodnota se vztahuje, jak již bylo uvedeno, na plyny s jednoatomovými molekulami, tedy především na tzv. vzácné plyny (VIII. skupina Mendělejevovy periodické soustavy). Pro dvouatomové plyny se obvykle uvádí hodnota k = 7/5, pro víceatomové plyny k = 4/3. Na základě ekvipartičního teorému bychom snadno nalezli obecný vztah

,

kde j je počet stupňů volnosti pohybu molekuly. Pro jednoatomové plyny je j = 3 (viz výše), pro dvouatomové j = 5 (navíc rotace kolem 2 os), pro víceatomové j = 6 (rotace kolem 3 os).