Tlumené kmity

Uvažujme hmotný bod, na nějž působí jednak síla přímo úměrná výchylce z rovnovážné polohy (např. pružina), jednak brzdící síla přímo úměrná rychlosti (např. odpor tlumící kapaliny). Označíme-li y okamžitou výchylku, pohybová rovnice bude mít tvar

kde K0, K1 jsou nějaké konstanty (první charakterizuje pružnost vazby, druhá útlum). Vydělením hmotností přepíšeme rovnici do tvaru

,

v němž

,   .

To je lineární diferenciální rovnice 2. řádu, jejíž řešení lze hledat v exponenciálním tvaru, tj.

,

kde l obecně může být i komplexní číslo. Dosazením takto vyjádřeného řešení do naší rovnice dostáváme pro l tzv. charakteristickou rovnici

,

která má kořeny

.

(A) Předpokládejme nejprve, že tyto kořeny jsou různé, tj. že výraz pod odmocninou je různý od nuly. Potom řešení lze psát jako lineární kombinaci

kde A1, A2 jsou integrační konstanty (obecně komplexní), které je třeba určit z počátečních podmínek. Okamžitá rychlost je

Známe-li počáteční výchylku y0 a počáteční rychlost v0, jsou konstanty A1, A2 řešením soustavy

tj.

,  

Nyní je třeba rozlišit 2 případy:

(1)  (tzv. podkritický útlum). Potom l1,2 = – w1 ± iw a řešení má tvar

,

neboli

.

což vzhledem k výše uvedeným vztahům lze přepsat na

.

kde jsme označili v1 = v0 + w1y0. Vidíme, že náš bod vykonává kmitavý pohyb s úhlovou frekvencí w a s exponenciálně klesající amplitudou.

(2)  (nadkritický útlum). Potom l1,2 = – w1 ± w a řešení má tvar

.

V tomto případě bod nekmitá, pouze se blíží do rovnovážné polohy. Užitím hyperbolických funkcí lze psát

neboli

(B) Hraniční stav mezi oběma předchozími případy představuje situace, kdy  (kritický útlum). Potom charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen l1,2 = – w1 a řešením je funkce

,

odkud ihned plyne y0 = A1. Okamžitá rychlost v tomto případě je

,

takže v0 = A2 – w1A1. Celkově lze tedy řešení psát ve tvaru

.

Všechny 3 možné případy lze zobecnit do 1 formule

,

kde pro útlum…

…podkritický:

…kritický:

g (t) = t

…nadkritický:

Vidíme, že mezi těmito situacemi je plynulý přechod, neboť kritický útlum dostaneme z obou stran jako limitní stav pro w à 0.

Pro numerický výpočet se ale neomezené hyperbolické funkce příliš nehodí, vhodnější je použít původní vyjádření s klesajícími exponenciálami, kam dosadíme integrační konstanty pro nadkritický útlum

.

Pro následující 3 grafy byly zvoleny tyto parametry: m = 1 kg, K0 = 4 N/m, y0 = 0, v0 = 1 m/s. Útlumová konstanta K1 má postupně hodnoty 1 N·s/m, 4 N·s/m, 10 N·s/m.