Přehled odvození základních trigonometrických vzorců

1.      Pravoúhlý trojúhelník

1.1.      Úhly, definice goniometrických funkcí

,  

,  

1.2.      Euklidovy věty, Pythagorova věta, výpočet těžnic

Výška ke straně c (přeponě) rozdělí trojúhelník na 2 menší trojúhelníky, o nichž snadno dokážeme, že jsou původnímu trojúhelníku podobné. Jejich vzájemnou podobnost vyjádříme vztahem

,

z něhož plyne  (I. Euklidova věta), a jejich podobnost původnímu trojúhelníku

,

odkud , podobně  (II. Euklidova věta). Sečtením obou rovnic dostaneme:  (Pythagorova věta).

Jiný důkaz ("čtverec ve čtverci"):

Důsledek: Pro každé a je  ("goniometrická jednička").

Těžnice: ,   ,      (Thaletova věta)

2.      Obecný trojúhelník

2.1.      Věty o shodnosti, trojúhelníková nerovnost, úhly

Věty: sss, sus, usu, Ssu (trojice prvků, jimiž může být trojúhelník jednoznačně určen).

Aby trojúhelník existoval, musí být a + b > c, cyklickou záměnou též b + c > a, c + a > b. Dva poslední vztahy lze napsat společně jako c > |a – b|.

Vnitřní úhly: , z toho plyne: , ,  atd.

2.2.      Obsah, sinová věta

Nejznámější vzorec:  (cyklická záměna).

Vzhledem k tomu, že  (atd.), je .

Důsledek:  (sinová věta)

Jejím použitím dostaneme:  a cyklickou záměnou (CZ) další 2 vztahy.

2.3.      Opsaná kružnice, vyjádření stran a obsahu

Podle věty o středovém a obvodovém úhlu (spolu s Thaletovou větou) je  (CZ). Užitím ve vzorci pro obsah dostaneme , resp.

Poznámka: Užitím vztahu pro sinus dvojnásobného úhlu můžeme první vztah upravit na tvar , jehož užitečnost se ukáže v dalším.

2.4.      Mollweidovy vztahy, tangentová věta

Z vyjádření stran plyne:

Vydělením dostaneme:

   (tangentová věta)

Na všechny vztahy lze samozřejmě použít cyklickou záměnu.

2.5.      Vepsaná kružnice, vztahy pro poloviční úhly

Osy úhlů rozdělí trojúhelník na 3 menší trojúhelníky, jejichž společnou výškou je poloměr vepsané kružnice. Obsah je tudíž roven

,

zkráceně , kde s je polovina obvodu trojúhelníka. Snadno též najdeme, že vzdálenost dotykových bodů vepsané kružnice od vrcholu A je rovna s – a (CZ), takže

   (CZ)

Důsledek:

2.6.      Připsané kružnice, Heronův vzorec

Sestrojme kružnici připsanou ke straně a, poloměr označíme ra. Její střed leží v průsečíku osy vnitřního úhlu a a os vnějších úhlů a + b, resp. a + g. Snadno též zjistíme, že vzdálenost dotykových bodů od vrcholu A je rovna s. Platí proto

,

a cyklickou záměnou

,    .

Důsledek: .

Vynásobením všech čtyř vztahů dostaneme: . Zároveň však

,

odkud srovnáním s předchozím vyjádřením plyne:, , takže. Přímým důsledkem jsou oba Heronovy vzorce pro obsah trojúhelníka, totiž

Důsledky:

   (CZ)

Srovnáním s upraveným vztahem z (2.3) dostáváme dále:

,

.

2.7.      Kosinová věta, věty o polovičních úhlech

Sestrojme výšku ke straně c. Podle součtového vzorce je

,

jednoduchou úpravou (užitím Pythagorovy věty)

   (CZ).

Obvyklý tvar:  (CZ).

Důsledky:

   (CZ),

   (CZ).

2.8.      Těžnice

Doplníme-li trojúhelník na rovnoběžník, jehož jednou úhlopříčkou je strana c, druhá úhlopříčka bude mít délku 2tc. Vnitřní úhly rovnoběžníka jsou g, a + b. Z kosinové věty plyne . Současně však platí , takže celkově

   (CZ).